3) COORDONNEES CARTESIENNES

Dans l'espace géométrique usuel, considérons le repère orthonormé cartésien (O, e₁, e₂, e₃ ).

3. 1 Matrices de rotation

Par une rotation d'angle a autour de l'axe de cordonnées e₃,

le repère (O, e₁, e₂, e₃ ) est transformé en (O, e'₁, e'₂, e'₃ ) tel que:

e'₁ = cos a e₁ + sin a e₂  
e'₂ = - sin a e₁ + cos a e₂
e'₃ = e₃                               

La matrice de changement de base (a) étant définie par:

e'_j = a_jⁱ e_i

elle est égale à

De manière similaire, la matrice de changement de base, d'une rotation d'angle a autour de e₂ est

e'₁ = cos a e₁ - sin a e₃ 
e'₂ = e₂                             
e'₃ = sin a e₁ + cos a e₃

et celle d'une rotation d'angle a autour de e₁

e'₁ = e₁                                 
e'₂ = cos a e₂ + sin a e₃   
e'₃ = - sin a e₂ + cos a e₃

3. 2 Matrice de symétrie ponctuelle

La symétrie ponctuelle par rapport à l'origine O des coordonnées transforme le repère (O, e₁, e₂, e₃ ) est transformé en (O, e'₁, e'₂, e'₃ ) tel que:

e'₁ = - e₁
e'₂ = - e₂
e'₃ = - e₁

La matrice de changement de base (a), définie par

e'_j = a_jⁱ e_i

est donc

3. 3 Matrices de reflexion

Une reflexion par rapport au plan x₁x₂, défini par les vecteurs de base e₁ et e₂, transforme le repère (O, e₁, e₂, e₃ ) est transformé en (O, e'₁, e'₂, e'₃ ) tel que:

e'₁ = e₁   
e'₂ = e₂   
e'₃ = - e'₃

La matrice de changement de base (a), définie par

e'_j = a_jⁱ e_i

est donc

De même la matrice de changement de base (a), d'une reflexion par rapport au plan x₁x₃, défini par les vecteurs  e₁ et e₃, est

et celle d'une réflexion par rapport au plan x₂x₃, défini par les vecteurs e₂ et e₃,