1) TENSEURS SUR UN ESPACE VECTORIEL

1. 1 Définition

Soit E un espace vectoriel de dimension finie n, sur R ou sur C, et E* son espace dual, c'est à dire l'ensemble des applications définies de E dans son corps de base, encore appelées formes linéaires. On désigne sous le nom de tenseur p fois contrevariant et q fois covariant toute forme multilinéaire définie sur (E*)^p x (E )^q. Les nombres p et q sont les variances et la somme (p + q) est l'ordre du tenseur. L'ensemble des tenseurs de variances p et q a une structure d'espace vectoriel.

1. 2 Tenseurs du premier ordre

Par définition, un tenseur du 1^er ordre contrevariant est une forme linéaire V définie sur E*, identifiée par le produit de dualité à un vecteur v de E:

" u* Î E*      V(u*) = < v, u*> = < u*, v >

Les tenseurs du 1^er ordre contrevariants sont les vecteurs de E.

De même, par définition, un tenseur du 1^er ordre covariant est une forme linéaire U définie sur E, qui est identifiée par le produit de dualité à un vecteur u* de E*:

" v Î E      U(v) = < v, u*> = < u*, v >

Les tenseurs du 1^er ordre covariants sont les vecteurs de E*.

1. 3 Produit tensoriel de deux vecteurs

Soient a et b deux vecteurs de l'espace vectoriel E. Le produit tensoriel P de a et b est une forme bilinéaire sur E*x E*, notée P = a Ä b, définie par:

" u* et v* Î E*      P(u*, v*) = (a Ä b)(u*, v*) = < a, u*>< b, v*>

On définit de manière similaire le produit scalaire de deux vecteurs de E*, l'espace dual de E, ou celui d'un vecteur de E et d'un vecteur de E*.

1. 4 Produit tensoriel de deux tenseurs

La définition ci-dessus se généralise aisément à des tenseurs d'ordre supérieur. Soient, par exemple, deux tenseurs V et U:
                      - V une forme trilinéaire définie sur E x E x E*
                      - U une forme linéaire définie sur E x E*

Le produit tensoriel P = V Ä U, est défini par:

" a, b, c Î E et u*, v* Î E*

P(a, b, u*, c, v*)  = (V Ä U )(a, b, u*, c, v*) = V (a, b, u*)U(c, v*)

Le produit tensoriel est associatif et distributif par rapport à l'addition.

1. 5 Base duale

Soit n vecteurs e_i formant une base de l'espace vectoriel E. Définissons la base duale de cette dernière, composée de n vecteurs e^j de E*, par les n² relations

              0 si i ¹ j
d_i^j = {
              1 si i = j

Si on convient de noter vⁱ les composantes d'un vecteur v de E sur la base des vecteurs e_i de E et u_j celles d'un vecteur u* de E*sur la base des vecteurs e^j de E*, en utilisant la convention d'Einstein de sommation sur un indice muet, on peut écrire:

v = vⁱ e_i       et      u* = u_j e^j

1. 6 Décomposition d'un tenseur

On dit qu'un tenseur T, p fois contrevariant et q fois covariant est décomposé s'il peut être mis sous la forme du produit tensoriel de p vecteurs de E et q vecteurs de E*. Par exemple, le tenseur deux fois covariant et une fois contrevariant V est dit décomposé, s'il existe deux vecteurs u*et v* de E* et un vecteur w de E tels que

" a, b Î E et c* Î E*

V(a, b, c*) = (u* Ä v* Ä w)(a, b, c*)

ou plus simplement

V = u* Ä v* Ä w

1. 7 Composantes d'un tenseur

Soient n vecteurs e_i formant une base de l'espace vectoriel E et n vecteurs e^j, définis par la relation précédente (§ 1.5 ),  constituant la base duale des vecteurs e_i dans l'espace dual E*. Quels que soient les vecteurs a et b de E et u* de E*, on peut les décomposer sur ces deux bases:

a = aⁱ e_i      b = b^k e_k       u* = u_j e^j

Considérons, par exemple, un tenseur V, deux fois covariant et une fois contrevariant. Par définition, V est une forme trilinéaire sur  E x E x E* et on peut écrire

V(a, b, u*) = V(aⁱ e_i, b^k e_k, u_j e^j ) = aⁱ b^k u_j V(e_i, e_k, e^j )

En posant,

V(e_i, e_k, e^j ) = V_ik^j       avec i, j, k = 1, 2, ..., n

cette relation devient

V(a, b, u*) = aⁱ b^k u_j V_ik^j

Dans la relation précédente, on peut introduire le tenseur décomposé

T = eⁱ Ä e^k Ä e_j

D'après la définition du produit tensoriel, T est une forme trilinéaire sur  E x E x E* telle que

" a, b Î E et u* Î E*

T(a, b, u*) = ( eⁱ Ä e^k Ä e_j )(a, b, u*) = < a, eⁱ >< b, e^k >< e_j, u* >
= < aⁱ e_i, eⁱ >< b^k e_k, e^k >< e_j, u_j e^j >

soit, en utilisant les propriétés de linéarité de T et la définition de la base duale (§ 1.5 ):

T(a, b, u*) = aⁱ b^k u_j < e_i, eⁱ >< e_k, e^k >< e_j, e^j >
= aⁱ b^k u_j d_iⁱ d_k^k d_j^j = aⁱ b^k u_j

On a donc:

" a, b Î E et u* Î E*

V(a, b, u*) = V_ik^j T(a, b, u*) = V_ik^j ( eⁱ Ä e^k Ä e_j )(a, b, u*)

soit en résumé

V = V_ik^j eⁱ Ä e^k Ä e_j                                       
V_ik^j = V(e_i, e_k, e^j )      avec i, j, k = 1, 2, ..., n

En remarquant que la relation

" i, j, k, p, q, r = 1, 2, ..., n

T(e_p, e_q, e^r ) = ( eⁱ Ä e^k Ä e_j )(e_p, e_q, e^r ) = < e_p, eⁱ >< e_q, e^k >< e_j, e^r >
= d_pⁱ d_q^k d_j^r

assure l'indépendance des n³ tenseurs eⁱ Ä e^k Ä e_j et que ces derniers forment, par définition, un système générateur de l'espace vectoriel des tenseurs V précédents, on en déduit qu'ils constituent une base de cet espace vectoriel. Les termes V_ik^j sont alors les composantes du tenseur V sur cette base. La totalité du raisonnement ci-dessus se généralise bien évidemment à un tenseur d'ordre et de variances quelconques.

On peut définir plus généralement le produit tensoriel d'espace vectoriel et montrer que l'espace vectoriel des tenseurs de l'exemple précédent, c'est à dire des formes linéaires définies sur E x E x E*, est isomorphe au produit tensoriel d'espace vectoriel E* Ä E* Ä E. Il est donc pratique d'identifier ces deux espaces et d'écrire que les tenseurs V sont des éléments de l'espace vectoriel E* Ä E* Ä E dont les tenseurs T = eⁱ Ä e^k Ä e_j (i, j, k = 1,2, ..., n) forment une base.

Dans la suite de l'exposé on adoptera cette formulation.

1. 8 Composantes du produit tensoriel

Les composantes d'un tenseur étant définies (§ 1.7 ), on peut aisément en déduire celles du produit tensoriel de deux tenseurs d'ordres et de variances quelconques.

A titre d'exemple, considérons deux tenseurs:

V' Î E* Ä E Ä E*      et       V'' Î E* Ä E

D'après le paragraphe précédent, ces deux tenseurs peuvent s'exprimer par

V' = V'_i^j_k eⁱ Ä e_j Ä e^k      et       V'' = V''_l^p e^l Ä e_p

où les vecteurs e_j (j = 1, 2, ..., n) forment une base de l'espace vectoriel E de dimension n et les vecteurs eⁱ (i = 1, 2, ..., n) sa base duale dans l'espace dual E*. Le produit tensoriel V de ces deux tenseurs s'écrit

V = V' Ä V'' = (V'_i^j_k eⁱ Ä e_j Ä e^k )(V''_l^p e^l Ä e_p ) = V'_i^j_k V''_l^p eⁱ Ä e_j Ä e^k Ä e^l Ä e_p

soit

            V =  V_i^j_kl^p eⁱ Ä e_j Ä e^k Ä e^l Ä e_p
avec      V_i^j_kl^p = V'_i^j_k V''_l^p

Ce résultat est applicable au cas particulier d'un tenseur décomposé. Si, par exemple, le tenseur V' de E* Ä E Ä E* ci-dessus est un tenseur décomposé, c'est à dire qu'il existe deux vecteurs u* = u_i eⁱ et v* = v_k e^k de E* et un vecteur w = w^j e_j de E tels que

V' = u* Ä w Ä v*

on a

V' = V'_i^j_k eⁱ Ä e_j Ä e^k
avec V'_i^j_k = u_i w^j v_k

Ces résultats se généralisent bien sûr à des tenseurs de variances et d'ordre différents de ceux de l'exemple étudié.

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