2) CHANGEMENT DE BASE

Dans un espace vectoriel E de dimension n, considérons deux bases {e} et {e'}constituées respectivement des vecteurs e_i et e'_j (i, j = 1, 2, ..., n) et notons e^k et e'^l (i, j = 1, 2, ..., n) les vecteurs de leurs bases duales respectives {e*} et {e'*} dans E*, l'espace dual de E.

2. 1 Transformation des vecteurs de base

La matrice de changement de base (a) de {e} vers {e'}est définie de telle sorte que

e'_j = a_jⁱ e_i

Les vecteurs e'_j formant une base de E, ils sont linéairement indépendants. En conséquence, le déterminant de la matrice (a) est non nul et on peut déterminer sa matrice inverse (a^-1 ) telle que:

e_i = (a^-1 )_i^j e'_j

Les vecteurs des bases {e} et {e'} et ceux de leurs bases duales respectives {e*} et {e'*} sont, par définition, liés par les relations

d_j^l = < e'_j, e'^l >      et       d_i^k = < e'_i, e'^l >

avec    d_i^j = 0 si i ¹ j      et       d_i^j = 1 si i = j

On en déduit que, si (a) est la matrice de changement de base de {e*} vers {e'*}, on a:

e'^l = a_k^l e^k

et

d_j^l = < e'_j, e'^l > = < a_jⁱ e_i, a_k^l e^k > = a_jⁱ a_k^l < e_i, e^k > = a_jⁱ a_k^l d_i^k
= a_jⁱ a_i^l

Le terme (a_jⁱ a_i^l ) est l'élément de j^ème ligne et de la l^ème colonne de la matrice issue du  produit matriciel de (a) et (a).

a_jⁱ a_i^l = (aa )_j^l

En remarquant que d_j^l est, quant à lui, l'élément de j^ème ligne et de la l^ème colonne de la matrice unité, il apparait que la relation ci-dessus montre que (a) est la matrice inverse de (a).

a_i^l = (a^-1 )_i^l

La transformation des vecteurs de la base duale {e*} en {e'*} s'écrit donc

e'^l = (a^-1 )_k^l e^k

et celle de la transformation inverse de {e'*} en {e*}

e^k = a_l^k e'^l

Par changement de base, les vecteurs de la base duale {e*} se transforment à l'inverse des vecteurs de la base ordinaire {e}.

2. 2 Transformation d'un tenseur

On peut alors en déduire la transformation, par changement de base, d'un tenseur d'ordre et de variances quelconques. Considérons, par exemple, le cas d'un tenseur V de l'espace vectoriel E* Ä E Ä E*, de composantes V_i^j_k et V'_l^p_q respectivement dans les bases {eⁱ Ä e_j Ä e^k} et {e'^l Ä e'_p Ä e'^q} de cet espace:

V = V_i^j_k eⁱ Ä e_j Ä e^k            
= V'_l^p_q e'^l Ä e'_p Ä e'^q     

(cf. Composantes d'un tenseur)

En substituant dans ces expressions les relations de changement de base, on obtient

V = V_i^j_k eⁱ Ä e_j Ä e^k = V_i^j_k [a_lⁱ e'^l Ä (a^-1 )_j^p e'_p Ä a_q^k e'^q ]
= a_lⁱ (a^-1 )_j^p a_q^k V_i^j_k e'^l Ä e'_p Ä e'^q = V'_l^p_q e'^l Ä e'_p Ä e'^q

V = V'_l^p_q e'^l Ä e'_p Ä e'^q = V'_l^p_q [(a^-1 )_i^l eⁱ Ä a_p^j e_j Ä (a^-1 )_k^q e^k]
= (a^-1 )_i^l a_p^j (a^-1 )_k^q V'_l^p_q eⁱ Ä e_j Ä e^k = V_i^j_k eⁱ Ä e_j Ä e^k

soit

V'_l^p_q = a_lⁱ (a^-1 )_j^p a_q^k V_i^j_k      
V_i^j_k = (a^-1 )_i^l a_p^j (a^-1 )_k^q V'_l^p_q

2. 3 Cas des tenseurs du premier ordre

Dans le cas d'un tenseur du premier ordre contrevariant, c'est à dire d'un vecteur u de l'espace vectoriel E, de composantes uⁱ et u'^j respectivement dans les bases {e} et {e'}, les relations précédentes deviennent

u = uⁱ e_i = uⁱ (a^-1 )_i^j e'_j = u'^j e'_j = u'^j a_jⁱ e_i

soit

u'^j = (a^-1 )_i^j uⁱ       et      uⁱ = a_jⁱ u'^j

Par changement de base, les composantes contrevariantes se transforme à l'inverse des vecteurs de la base ordinaire {e}.

S'il s'agit d'un tenseur du premier ordre covariant, c'est à dire d'un vecteur u* de l'espace dual E*, de composantes u_k et u'_l respectivement dans les bases {e*} et {e'*}, les mêmes relations s'écrivent

u* = u_k e^k = u_k a_l^k e'^l = u'_l e'^l = u'_l (a^-1 )_k^l e^k

soit

u'_l = a_l^k u_k       et      u_k = (a^-1 )_k^l u'_l

Par changement de base, les composantes covariantes se transforme comme les vecteurs de la base ordinaire {e}.

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