1) SYSTEMES TRIPHASES EQUILIBRES

1. 1 Définitions

Trois grandeurs physiques de même nature (tensions, courants, ...), représentées par des fonctions sinusoïdales du temps forment un système triphasé si elles ont même pulsation, et qu'elles sont déphasées entre elles de ± 2p /3. Le système est dit triphasé direct quand le déphasage est de - 2p /3 et indirect lorsqu'il est de + 2p /3. Il est appelé équilibré lorsque de plus les trois grandeurs ont même amplitude X_m. Les trois grandeurs suivantes, par exemple, forment un système triphasé équilibré direct:

x₁(t) = X_m sin (wt)            x₁(t) = X_m sin (wt - 2p /3)           x₁(t) = X_m sin (wt - 4p /3)

1. 2 Représentations

Les grandeurs précédentes peuvent être représentées par des nombres complexes de même amplitude et dont les arguments sont ceux des fonctions sinus précédentes:

avec
                                                           

On peut donc représenter ces grandeurs dans le plan complexe par trois vecteurs de même longueur, ayant entre eux un angle de  - 2p /3 et qui tournent dans le même sens avec une vitesse angulaire w. Dans la mesure où les grandeurs ont la même vitesse angulaire, il est plus intéressant de prendre la référence de phase sur l'un des nombres complexe, X₁ par exemple, de manière à avoir une représentation vectorielle composée de trois vecteurs ''fixes'' dans le plan de Fresnel et quelquefois de représenter les nombres complexes d'amplitude

puisque souvent on s'intéresse plus à la valeur efficace de ces grandeurs.

On peut remarquer qu'on passe de la représentation d'un système triphasé équilibré direct (STED) à celle d'un système triphasé équilibré inverse (STEI) en inversant simplement les vecteurs l'ordre de succession des phases. Si le système (X₁, X₂, X₃) forme un STED, le système (X₁, X₃, X₂) forme un STEI.

Remarque: Dans la suite de l'exposé on utilisera la notation complexe des grandeurs lorsque nécessaire sans préciser à chaque fois qu'il s'agit d'un nombre complexe ''associé'' à la grandeur sinusoïdale concernée. De même, lorsqu'elle ne sera pas explicitement indiquée, la dépendance en e^jwt des tensions et des courants sera sous entendue. Ce qui revient à prendre la référence de phase sur l'une des tensions (ou l'un des courants) du système triphasé étudié.

1. 3 Opérateur rotation

En introduisant l'opérateur rotation , il apparaît qu'un système triphasé équilibré (X₁, X₂, X₃) s'écrit (X₁, aX₁, a²X₁) lorsqu'il est inverse et (X₁, a²X₁, aX₁) lorsqu'il est direct. Parmi les propriétés de l'opérateur rotation a on peut noter que

a + a² + 1 = 0

On a donc aussi:

X₁ + X₂ + X₃ = X₁(1 + a + a²) = 0,

propriété observable sur la représentation vectorielle précédente. L'opérateur a vérifie en outre les propriétés suivantes:

a² = a^-1
a³ = 1

Remarque: On traitera dans ce qui suit le cas des systèmes triphasés équilibrés directs, en se rappelant que les systèmes inverses ont des propriétés similaires.

1. 4 Systèmes de tensions et de courants

Considérons une ligne à quatre fils composée de 3 fils de phase (ou de ligne) et d'un fil de neutre, dont on précisera le rôle plus tard. On appelle tensions simples (ou tensions étoilées) les tensions mesurées entre le neutre, réel ou fictif, et un fil de phase (V₁, V₂, V₃) et on nomme tensions composées (U₁₂, U₂₃, U₃₁) les tensions obtenues par différence entre deux tensions simples:

U_ij = V_i - V_j

Supposons que les tensions simples (V₁, V₂, V₃) forment un STED d'amplitude V_m:

(V₁, V₂, V₃) = (V₁, a²V₁, aV₁) = (V_m, a²V_m, aV_m)

Les tensions composées U_ij s'écrivent alors

Le système de tensions composées (U₁₂, U₂₃, U₃₁) est tel que:

(U₁₂, U₂₃, U₃₁) = (U₁₂, a²U₁₂, aU₁₂)

et forme un STED de tensions (même fréquence, même amplitude , déphasage entre elles de - 2p/3).

Les courants I₁, I₂ et I₃ sont appelés courants de ligne. Si les tensions (V₁, V₂, V₃) forment un STED Dans le cas d'une ligne en charge équilibrée, c'est à dire lorsque chacune des phases supporte la même impédance, le système de courants (I₁, I₂, I₃) forme un STED. Ces courants vérifient donc la relation:

I₁ + I₂ + I₃ = 0

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