4) SYSTEMES TRIPHASES DESEQUILIBRES

4. 5 Puissances triphasées en régime déséquilibré

Les puissances triphasées ont déjà été étudiées dans le cas général au paragraphe 2. 2. Il a été établit qu'elles s'expriment par:

                        - puissance complexe: S = [V₁I₁* + V₂I₂* + V₃I₃*] / 2,
                        - puissance active: P = P₁ + P₂ +P₃ = V₁I₁ cos f₁ + V₂I₂ cos f ₂ + V₃I₃ cos f₃,
                        - puissance reactive: Q = Q₁ + Q₂ + Q₃ = V₁I₁ sin f₁ + V₂I₂ sin f₂ + V₃I₃ sin f₃.

dans lesquelles V_i et I_i (i = 1, 2, 3) sont les valeurs efficaces des tensions simples et des courants de ligne V_i et I_i (i = 1, 2, 3) et f_i le déphasage entre le courant I_i et la tension V_i.

En notant (V_i, V_d, V₀) et (I_i, I_d, I₀) les composantes symétriques respectivement des systèmes de tensions V_i et de courants I_i, on a

V₁ = V_d + V_i + V₀           V₂ = a²V_d + aV_i + V₀           V₃ = aV_d + a²V_i + V₀
I₁ = I_d + I_i + I₀                   I₂ = a²I_d + aI_i + I₀                  I₃ = aI_d + a²I_i + I₀     

et en se souvenant que les opérateurs complexes a et a² sont complexes conjugués,

I₁* = I_d* + I_i* + I₀*                   I₂* = aI_d* + a²I_i* + I₀*                  I₃* = a²I_d* + aI_i* + I₀*    

I_i* (i = 1, 2, 3), I_d*, I_i*, I₀* sont les complexes conjugués de I_i (i = 1, 2, 3), I_d, I_i, I₀.

En termes de composantes symétriques et compte tenu des propriétés de l'opérateur rotation a (cf § 1.3) la puissance complexe s'exprime donc par

S = [V₁I₁* + V₂I₂* + V₃I₃*] / 2 = 3 [V_dI_d* + V_i I_i* + V₀I₀*] / 2
+ (1 + a + a²)[V_dI_i* + V_dI₀* + V_iI_d* + V_iI ₀* + V₀I_d* + V₀I_i*]

comme 1 + a + a² = 0, l'expression de cette puissance devient

S = 3 [V_dI_d* + V_iI_i* + V₀I₀*] / 2

Considérons une ligne triphasée dont les tensions simples et les courants de ligne sont respectivement (V_d, a²V_d, aV_d) et (I_d, a²I_d, aI_d). La puissance complexe associée à un tel système est la somme des puissances complexes de chacune des phases (cf § 2.2.1):

S_d = [V_dI_d* + a²V_d aI_d* + aV_d a²I_d*] / 2 = (3/2) V_dI _d*

On en déduit les puissances actives P_d, réactive Q_d et apparente S_d associées à ce régime:

P_d = Re{S_d} = (3/2) V_dmI_dm cos f_d = 3V_dI_d cos f_d
Q_d = Im{S_d} = (3/2) V_dmI_dm sin f_d = 3V_dI_d sin f_d

où V_dm et I_dm sont les amplitudes de la tension V_d et du courant I_d,
                                                             et      

leurs valeurs efficaces et f_d le déphasage entre I_d et V_d.

De manière similaire, si les systèmes de tensions simples et de courants de ligne sont (V_i, aV_i, a ²V_i) et (I_i, aI_i, a²I_i) sur la ligne, elle est le siège d'une puissance complexe

S_i = [V_iI_i* + aV_i a²I_i* + a²V_i aI_i*] / 2 = (3/2) V _iI_i*,

les puissances actives P_i, réactive Q_i et apparente S_i associées à ce régime étant

P_i = Re{S_i} = (3/2) V_imI_im cos f_i = 3V_iI_i cos f_i
Q_i = Im{S_i} = (3/2) V_imI_im sin f_i = 3V_iI_i sin f_i

V_im et I_im sont les amplitudes de la tension V_i et du courant I_i,

      et      

leurs valeurs efficaces et f_i le déphasage entre I_i et V_i.

Enfin, si le régime de la ligne est caractérisé par les composantes homopolaires V₀ et I₀on a

S₀ = [V₀I₀* + V₀I₀* + V₀I₀*] / 2 = (3/2) V₀I₀*,

les puissances actives P_i, réactive Q_i et apparente S_i associées à ce régime étant

P₀ = Re{S₀} = (3/2) V_0mI_0m cos f₀ = 3V₀I₀ cos f₀
Q₀ = Im{S₀} = (3/2) V_0mI_0m sin f₀ = 3V₀I₀ sin f₀

avec V_0m et I_0m sont les amplitudes de la tension V₀ et du courant I₀,

      et      

leurs valeurs efficaces et f₀ le déphasage entre I₀ et V₀.

Remarque: Les expressions des différentes puissances transmises par les composantes symétriques directe, inverse et homopolaire sont évidemment conformes à celles obtenues dans l'étude des régimes triphasés équilibrés puisqu'il s'agit précisément des régimes équilibrés. On aurait pu, à ce titre, écrire directement ces expressions.

La puissance complexe est donc la somme des puissances complexes transmises par les trois systèmes équilibrés direct, inverse et homopolaire:

S = 3 [V_dI_d* + V_iI_i* + V₀I₀*] / 2 = S_d + S_i + S₀

Tout ce passe comme si on avait superposition, sans interaction, de ces trois régimes sur la ligne.

On en déduit:

   - la puissance active: P = Re{S} = 3[V_dI_d cos f_d + V_iI_i cos f _i +3V₀I₀ cos f₀] = P_d + P_i + P₀
   - la puissance réactive: Q = Im{S} = 3[V_dI_d sin f_d + V_iI_i sin f _i +3V₀I₀ sin f₀] = Q_d + Q_i + Q₀
   - la puissance apparente

4. 6 Facteur de puissance

Le facteur de puissance en régime déséquilibré se définit comme le rapport de la puissance active sur la puissance apparente, soit:

5) ORGANISATION DE LA DISTRIBUTION ELECTRIQUE

5. 1 Introduction

Les avantages de la production, de la distribution et de l'utilisation en moyenne et forte puissance, de l'énergie électrique en triphasé sont multiples. A masse de machine égale, les puissances nominales des machines tournantes synchrones et asynchrones sont de 50 à 100% supérieures à celles des machines monophasées correspondantes. La puissance fluctuante étant nulle en triphasé la marche de ces machines sera plus régulière et leurs rendements sont généralement meilleurs que ceux des machines monophasées. Le transport de l'énergie électrique présente aussi des avantages non négligeables, notamment au niveau des pertes en ligne et de la quantité nécessaire de matériau conducteur.

5. 2 Pertes en ligne

Pour vérifier l'intérêt économique du transport de l'énergie électrique sous forme triphasée comparons une ligne triphasée équilibrée en courants et tension et une ligne monophasée, les deux lignes étant constituées de conducteurs identiques.

Sous une tension V et parcourue par un courant I, de valeurs efficaces V et I, la puissance transportée par la ligne monophasée est

P_mono = VI cos f

f étant le déphasage entre I et V. En notant R la résistance linéique des conducteurs, la ligne dissipe par effet Joule et par mètre une puissance

P_Jmono = 2RI²

La puissance transportée par une ligne triphasée équilibrée en tensions et courants, dont les tensions simples sont de même valeur efficace V et sous le même facteur de puissance, et constituée de conducteurs identiques à ceux de la ligne monophasée, est

P_tri = 3VI' cos f

Cette puissance est égale à celle de la ligne monophasée précédente pour un courant de valeur efficace trois fois plus faible

P_mono = P_tri      =>       I' = I/3

Les pertes par effet Joule sont par mètre de ligne

Pour une même puissance transmise, les pertes Joule sont six fois plus faibles. Toutefois, pour former la ligne triphasée on utilise 50% de matériau conducteur en plus. A masse de conducteur égale, on peut fabriquer une ligne triphasée de même longueur que la ligne monophasée à condition de réduire la section des fils au 2/3. La résistance R' des trois conducteurs est alors

R' = 3R/2

Si on conserve les conditions précédentes, de valeur efficace des tensions simples équilibrées égale à celle de la ligne monophasée et de même facteur de puissance, la puissance triphasée transmise est identique à celle de la ligne monophasée pour un courant I' = I/3. Les pertes Joule par mètre de la ligne triphasée sont dans ce cas

A masse de conducteur et puissance transmise égales, les pertes par effet Joule sont quatre fois plus faible sur une ligne triphasée équilibrée que sur une ligne monophasée.

5. 3 Organisation de la distribution

Les pertes Joules sont proportionnelles au carré du courant et donc d'autant plus faibles que le courant sur la ligne est petit. A puissance active donnée, ces pertes sont donc d'autant plus faibles que le transport se fait à plus haute tension et que le facteur de puissance sera proche de l'unité. Cette considération explique d'une part l'incitation faite aux usagers par les producteurs d'énergie électrique, de préserver un facteur de puissance élevé (> 0.85) et l'organisation du transport et de la distribution. Si l'effet Joule n'est pas la seule origine des pertes sur les lignes, elles sont tout de même prépondérantes.

Le transport sur les longues distances se fait à très hautes tensions, 400kV pour les grandes puissances. La tension est ensuite abaissée progressivement pour des raisons de sécurité à l'approche des agglomérations:

                  - 90kV pour le transport régional jusqu'aux villes,
                  - 225kV sur le réseau maillé national,
                  - 20kV depuis les postes de transformation périphériques vers les quartiers ou les villages,
                  - 220/380V pour la distribution domestique.

(Les valeurs numériques indicatives, il existe d'autres tensions utilisées)

L'énergie électrique ne pouvant être stockée, la production doit être ajustée en temps réel à la consommation. Un déséquilibre entre la demande et la puissance disponible se traduit par des fluctuations de la tension et la fréquence sur le réseau. Cette contrainte conduit à disposer d'une puissance de production très supérieure à la puissance moyenne consommée et d'une inter-connexion entre les réseaux européens pour bénéficier de la non-simultanéité des pointes de consommation dans les différents pays. Un réseau d'une telle étendue nécessite aussi bien sûr des dispositifs et des procédures de gestion relativement complexes pour ce prémunir des incidents de distribution (Sur-demande, court-circuit, rupture de ligne, etc...).