4) SYSTEMES TRIPHASES DESEQUILIBRES

Un système triphasé déséquilibré est un système dont les tensions ou les courants ne vérifient pas les conditions de phases ou d'amplitudes, énoncées au paragraphe 1.1, qui définissent les systèmes triphasés équilibrés. La fréquence est par contre identique pour les trois grandeurs.

4. 1 Composantes symétriques

Soit un système triphasé quelconque, équilibré ou déséquilibré, dont les éléments sont des grandeurs sinusoïdales de même fréquence, représentés par les nombres complexes (X₁, X₂, X₃). Posons

Ces équations sont appelées transformation de Fortescue.

En inversant les relations ci-dessus, on vérifie aisément que X₁, X₂ et X₃ s'écrivent

X₁ = X_d + X_i + X₀           X₂ = a²X_d + aX_i + X₀           X₃ = aX_d + a²X_i + X₀

Les nombres complexes X_d, X_i et X₀ sont appelés composantes symétriques du système (X₁, X₂, X₃).

A partir de ces composantes symétriques on peut définir trois systèmes équilibrés:

                              - le premier direct (X_d, a²X_d , aX),
                              - le deuxième inverse (X_i, aX_i, a²X_i),
                              - le troisième homopolaire (X₀, X₀, X₀).

La relation entre le système déséquilibré (X₁, X₂, X₃) et ses composantes symétriques (X_d, X_i, X₀) s'écrit sous forme matricielle

L'étude du système quelconque (X₁, X₂, X₃) peut donc se ramener à celle des trois systèmes équilibrés précédents, c'est à dire que le système (X₁, X₂, X₃) peut être considéré comme la superposition de trois systèmes équilibrés de même fréquence: direct, inverse et homopolaire.

Remarques: On peut noter que les systèmes inverse, direct et homopolaire sont obtenus respectivement sur la base de progressions géométriques de raisons a, a² et a³. Ce résultat se généralise à un système polyphasé à q phases qui peut être considéré comme la superposition de q système équilibrés obtenus par progressions géométriques.

Si le système triphasé (X₁, X₂, X₃) est équilibré une seule des composantes symétriques est différente de zéro et en toute rigueur la décomposition reste valable. Cette composante non nulle s'identifie à:

                              - X_d = X₁ (X_i = X₀ = 0) si (X₁, X₂, X₃) est direct,
                              - X_i = X₁ (X_d = X₀ = 0) si (X₁, X₂, X₃) est inverse.

La définition des composantes symétriques entraîne une composante homopolaire nulle pour tous les systèmes dont la somme est égale à zéro.

4. 2 Relations entre les composantes symétriques des systèmes de tensions

Soit un système triphasé quelconque de tensions simples (V₁, V₂, V₃) dont les composantes symétriques sont (V_d, V_i, V₀). Il s'écrit

V₁ = V_d + V_i + V₀           V₂ = a²V_d + aV_i + V₀           V₃ = aV_d + a²V_i + V₀

Les tensions composées définies par U_ij = V_i - V_j, s'expriment par

U₁₂ = V₁ - V₂ = (1 - a²)V_d + (1 - a)V_i
U₂₃ = V₂ - V₃ = a(a - 1)V_d + a(1 - a)V_i = a²(1 - a²)V_d + a(1 - a)V_i
U₃₁ = V₃ - V₁ = (a - 1)V_d + (a² - 1)V_i = a(1 - a²)V_d + a²(1 - a)V_i

On en déduit les composantes symétriques directe, inverse des tensions composées:

                      U₀ = 0

Par construction, les amplitudes de ces composantes symétriques des tensions simples et composées vérifient les relations trouvées lors de l'étude des systèmes triphasés équilibrés:

           et          

où U_dm et U_im sont les amplitudes de U_d et U_i, V_dm et V_im celles de V_d et V_i. Des relations identiques s'appliquent aux valeurs efficaces de ces tensions. En notant ces valeurs efficaces respectivement

on a les relations

           et          

Remarque: Notons que la définition des tensions composées entraîne nécessairement la nullité de la composante homopolaire du système.

4. 3 Relations entre les composantes symétriques des systèmes de courants

Soit un groupement en triangle de trois phases et son système de courants de branches (J₁₂, J₂₃, J₃₁) de composantes symétriques notées (J_d, J_i, ,J₀):

J₁₂ = J_d + J_i + J₀           J₂₃ = a²J_d + aJ_i + J₀           J₃₁ = aJ_d + a²J_i + J₀

On en déduit les courants de ligne

I₁ = J₁₂ - J₃₁ = (1 - a²)J_d + (1 - a)J_i                                                
I₂ = J₂₃ - J₁₂ = a(a - 1)J_d + a(1 - a)J_i = a²(1 - a²)J _d + a(1 - a)J_i
I₃ = J₃₁ - J₂₃ = = (a - 1)J_d + (a² - 1)J_i = a(1 - a²)J_d + a²(1 - a)J_i

et les relations entre les composantes symétriques des courants de ligne et de branche:

                      I₀ = 0

La composante homopolaire est nulle puisque l'alimentation du groupement triangle se fait forcément à trois fils et que donc I₁ + I₂ + I₃ = 0.

Comme pour les tensions composées, les amplitudes des composantes symétriques des courants de ligne et de branche vérifient les relations trouvées lors de l'étude des systèmes triphasés équilibrés:

           et          

où I_dm et I_im sont les amplitudes de I_d et I_i, J_dm et J_im celles de J_d et J_i. En notant les valeurs efficaces de ces courants respectivement

on a les relations

           et          

4. 4 Degré de déséquilibre

On quantifie le déséquilibre d'un système triphasé par le degré de déséquilibre (ou degré de dissymétrie), en courant ou en tension, défini comme le rapport des valeurs efficaces, ou des amplitudes, de la composante inverse sur la composante directe:

         X_i = V_i ou I_i; X_d = V_d ou V_d

Les systèmes triphasés fonctionnent généralement au voisinage du régime équilibré. Pour de nombreuses machines tournantes, par exemple, le non respect de cette condition peut entraîner des échauffements excessifs. Il en résulte que l'une des composantes, directe ou inverse, est largement prépondérante.

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