2) OPERATIONS DE SYMETRIE PONCTUELLES

2. 1 Introduction

La position d'un solide dans l'espace est totalement déterminée par les positions de trois points non alignés de celui-ci. Par suite, la connaissance des positions initiales et finales de ces trois points suffit à définir le déplacement de ce solide, à condition que ce dernier s'effectue sans déformation, c'est à dire que les distances relatives entre les trois points considérés soient conservées. On démontre en mécanique que le déplacement le plus général d'un solide peut se décomposer en une rotation et une translation parallèle à l'axe de rotation, c'est à dire un déplacement hélicoïdal.

Considérons deux points O et M d'un solide et supposons que O soit maintenu fixe au cours des déplacements tandis que M est libre. Si les déplacements envisagés ont lieu sans déformation du solide, la distance OM = ||OM || entre les deux points doit rester constante. Les seuls déplacements qui satisfont à ces conditions sont, d'une part, les rotations autour d'un axe passant par O et, d'autre part, les symétries par rapport à O, à un plan passant par O ou une droite passant par O, ainsi que les combinaisons de ces opérations.

On appelle opération de symétrie ponctuelle d'un solide, les déplacements qui laisse ce dernier invariant. Cette définition implique que:

                         - pour un solide de dimension finies, seules les symétries, les rotations et les combinaisons de ces deux types de déplacements peuvent être des opérations de symétrie ponctuelle, aussi appelées transformations ponctuelles; pour un solide infini on a de plus les translations du réseau;

                         - l'ensemble des opérations de symétrie attachées à un solide, muni de la loi de composition consistant à appliquer successivement ces opérations de symétrie, forme un groupe, au sens mathématique du terme.

2. 2 Définitions

Les opérations de symétrie ponctuelle d'un solide sont:

Les rotations: Elles sont notées C_n en notation de Schoemflies et n en notation internationale. Le nombre entier n est tel que l'angle de rotation 2p/n est le plus petit angle qui amène le solide à se superposer à lui même. On dit alors qu'il s'agit d'un axe direct de rotation d'ordre n. Si p est un nombre entier, appliquer p fois la rotation C_n revient à effectuer une rotation d'un angle 2pp/n. L'application n fois de la rotation C_n donne une rotation d'angle 2p, c'est à dire l'identité C₁.

Si un cristal possède plusieurs axes de symétrie, l'axe dont l'ordre n est le plus élevé est appelé axe principal.

Les rotation-inversions: Ce sont les transformations résultant d'une rotation C_n autour d'un axe lié au solide suivie d'une symétrie centrale par rapport à un point de cet axe. Elles sont notée iC_n en notation de Schoemflies et ¯n en notation internationale. On dit alors qu'il s'agit d'un axe inverse de rotation d'ordre n. Parmi celles-ci on peut en remarquer les deux rotations-inversions particulières iC₁ et iC₂ ( ^¯1 et ^¯2 en notation internationale):

      - iC₁ est par définition une rotation de 2p autour d'un axe, c'est à dire l'identité, suivie d'une symétrie par rapport à un point de cet axe; elle est équivalente à la symétrie ponctuelle i:

      - iC₂, quant à elle, est une rotation de p autour d'un axe suivie d'une symétrie par rapport à un point de cet axe; elle est équivalente à la symétrie par rapport à un plan perpendiculaire à l'axe de rotation et passant par le centre de la symétrie i. Un tel plan de symétrie est appelé miroir et noté s_h en notation de Schoemflies. Ce miroir est noté 2/m en notation internationale: la lettre "m" pour miroir et le signe de fraction "/" pour indiquer qu'il s'agit d'un miroir perpendiculaire à l'axe 2. Ces deux symétries ponctuelles sont représentées sur la figure suivante:

iC1 = i º ¯1

Les rotation-reflexions: Ce sont les transformations obtenues par une rotation C_n suivie d'une symétrie par rapport à un plan perpendiculaire à l'axe de rotation. Elles sont introduites en notation de Schoemflies et notées S_n. Elles ne constituent pas de nouvelles symétries ponctuelles dans la mesure où elles il existe toujours des rotation-inversions qui leurs sont équivalentes. Par exemple, les rotation-reflexions S₁et S₂ sont respectivement équivalentes aux rotation-inversions iC₂ et iC₁, comme l'illustre la figure ci-dessous:

S1 º iC2	S2 º iC1

Les miroirs: Ce sont les symétries par rapport à un plan. Elles ne représentent pas de nouvelles transformations ponctuelles dans la mesure où, comme nous l'avons vu, elles sont équivalentes à des rotation-inversions de type iC₂. En notation de Schoemflies, les miroirs sont notés s_h lorsqu'ils sont perpendiculaires à l'axe principal du cristal et s_v lorsqu'ils contiennent cet axe. En notation internationale, si l'axe principal du cristal est d'ordre n, ces miroirs sont notés respectivement "n/m" (miroir perpendiculaire à l'axe n) et "nm" (miroir contenant l'axe n).

2. 3 Projection stéréographique

La projection stéréographique est une représentation plane des opérations de symétrie. Elle permet de visualiser rapidement les symétries ponctuelles et les équivalences qui existent entre elles.

Considérons une sphère de centre O et (E) l'un de ces plans équatoriaux. Soient N et S les pôles nord et sud de la sphère, c'est à dire les intersections de la sphère avec la droite perpendiculaire à (E) passant par O. Un point P de l'hémisphère supérieur est représenté par le point d'intersection p de la droite SP et du plan équatorial (E) et noté par une croix (x). Un point M de l'hémisphère inférieur est représenté par le point d'intersection m de la droite NM et du plan (E) et noté par un point encerclé (?). Une telle construction conserve les angles: deux courbes qui se coupent selon un angle a ont des projections stéréographiques qui se coupent selon ce même angle a.

Par convention, une droite est représentée par les projections stéréographiques de ses points d'intersection avec la sphère et un plan passant par le centre O de la sphère, par la projection stéréographique de son intersection avec celle-ci, c'est à dire par deux arcs de cercle symétriques par rapport à sa trace sur le plan équatorial (E). Les constructions sur le stéréogramme sont tracées en traits discontinus sauf les projections qui le sont en traits continus.

Le tableau suivant présente les notations et les symboles graphiques utilisés pour tracer, sur une projection stéréographique, les opérations de symétrie. On peut ajouter qu'un miroir est représenté par un trait continu et qu'un miroir de type s_h, perpendiculaire à l'axe principal de rotation (cf. 2.2), se traduit par le tracé du plan équatorial (E) en trait continu.

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