1) GENERALITES

1. 1 Réseau et base d'une structure cristalline

Considérons un cristal parfait infini, c'est à dire une structure constituée d'un arrangement régulier, illimité et périodique d'atomes. Pour décrire cette structure la sépare en deux entités:

           - le réseau cristallin, qui est un arrangement périodique et régulier de points de l'espace;
           - la base, aussi nommée le motif, qui est l'atome ou le groupe d'atomes positionné en chacun de ces points.

La réunion de ces deux entités définit la structure cristalline.

Pour préciser la notion de réseau, considérons un point quelconque O de l'espace pris comme origine des coordonnées et trois vecteurs indépendants a, b, c. Si le point M appartient à l'édifice cristallin, les points M' tels que

MM' = ua + vb + wc

où u, v et w sont des entiers relatifs, définissent un réseau à trois dimensions. Si les vecteurs a, b et c permettent, en faisant varier les entiers de u, v et w, d'atteindre tous les points du cristal autour desquels l'arrangement atomique est identique, ils sont appelés les vecteurs fondamentaux (ou vecteurs de translation primitifs) du réseau cristallin. En annulant un des trois vecteurs a, b ou c on définit de la même manière un réseau à deux dimensions, et en annulant deux d'entre eux, un réseau à une dimension.

Les vecteurs de la forme

T = ua + vb + wc

avec u, v et w entiers relatifs, sont appelés vecteurs de translation du réseau. L'ensemble des vecteurs T, obtenus en faisant varier les entiers u, v et w, constitue le groupe des translations du réseau et possède toutes les propiétés d'un groupe au le sens mathématique du terme.

Exemple:

Les points sont périodiquement disposés et forment un réseau à deux dimensions dont chacun des noeuds est occupé par un point. Les couples de vecteurs (a₁, b₁ ), (a₂, b₂ ), (a₃, b₃ ) permettent, à partir d'un noeud quelconque du réseau, d'atteindre par combinaisons linéaires de nombres entiers, tous les autres noeuds. Ce sont des vecteurs fondamentaux du réseau.

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Si on place une base, c'est à dire un atome ou un ensemble d'atomes, en chacun des noeuds d'un réseau on obtient une structure cristalline. La composition, la disposition et l'orientation des atomes constituant la base par rapport au réseau doit être identique en chacun des noeuds.

Exemple:

En chaque noeud du réseau précédent on peut disposer une base à deux atomes . On obtient alors la structure cristalline suivante:

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1. 2 Définition d'une rangée

Considérons un réseau à trois dimensions, caractérisés par les vecteurs fondamentaux a, b et c et prenons l'origine des coordonnées O sur un noeud quelconque de ce réseau. La droite affine D passant par les noeuds M₁(m₁, n₁, p₁ ) et M₂(m₂, n₂, p₂ ) du réseau a pour vecteur directeur

R_uvw =  (m₂ - m₁ ) a + (n₂ - n₁ ) b + (p₂ - p₁ ) c
= u a + v b + w c

avec u =  (m₂ - m₁ )      v =  (n₂ - n₁ )      w =  (p₂ - p₁ )

Les vecteurs a, b, c étant des vecteurs fondamentaux du réseau, les coordonnées (m₁, n₁, p₁ ) et (m₂, n₂, p₂ ) sont des nombres entiers et par suite il en est de même pour u, v et w. Soit e le plus grand commun diviseur de u, v et w, posons

u = he       v = ke        w = le

Les nombres h, k et l sont alors premiers entre eux et le vecteur

R_hkl = h a + k b + l c

qui est parallèle à R_uvw est aussi un vecteur directeur de D. Par construction, R_hkl relie deux noeuds voisins du réseau sur D.

On appelle rangées [h k l], les droites du réseau dont R_hkl est un vecteur directeur.

Remarque: On peut définir de la même façon les rangées dans un réseau à une ou deux dimensions. Les rangées sont caractérisées dans ces cas par un seul ou deux indices.

1. 3 Equations des rangées

Soit un réseau à trois dimensions, caractérisé par les vecteurs fondamentaux a, b, c et le repère de l'espace (O, a, b, c) tel que son origine O coincide avec un noeud de ce réseau. Par définition, la rangée [h k l] a pour vecteur directeur

R_hkl = h a + k b + l c

Le point M₁(m, n, p) étant un noeud du réseau, considérons M₂(x, y, z) un point quelconque de l'espace. La droite D, soutenue par le vecteur M₁M₂ et passant par M₁, est une rangée de la famille [h k l] si et seulement si M₁M₂ est parallèle à R_hkl, c'est à dire:

M₁M₂ = a R_hkl

ou

x - m = a h        y - n = a k         z - p = a l

Dans le repère (O, a, b, c), l'équation de la rangée [h k l] passant par le noeud M₁(m, n, p) est donc

Dans un repère normé (O, i, j, k) tel que les vecteurs de base i, j et k soient respectivement colinéaires aux vecteurs fondamentaux a, b et c:

a = a i         b = b j         c = c k

Dans ce repère, le vecteur R_hkl s'écrit

R_hkl = ha i + kb j + lc k

et le point M₁ a pour coordonnées (ma, nb, pc). Suivant le raisonnement précédent, la droite D passant par M₁ et M₂(x, y, z) est une rangée [h k l] si et seulement si

x - ma = a ha         y - nb = a kb        z - pc = a lc

et l'équation de la rangée [h k l] passant par M₁ dans le repère normé (O, i, j, k) est

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