2) PUISSANCES TRIPHASEES (Suite)

2. 2 Puissances triphasées

         2.2.1 Définitions

Une ligne triphasée peut être considérée comme l'association de trois lignes monophasées ayant un fil conducteur en commun, le neutre. Les puissances active et réactive triphasées sont définies comme les sommes des puissances actives et réactives de chacune des phases.

Soient V_i, I_i (i = 1, 2, 3) les valeurs efficaces respectivement de la tension entre la phase i et le neutre et du courant dans celle-ci et f_i le déphasage entre I_i et V_i, les puissances active et réactive triphasées sont donc:

On en déduit l'expression de la puissance complexe triphasée:

On notera que la puissance apparente définie, comme le module de la puissance complexe, est différente, dans le cas général, de la somme des puissances apparentes de chacune des phases.

Si le régime est équilibré en tensions et courants, les amplitudes (V_i, I_i) et les déphasages f_i sont les mêmes sur chacune des phases.

V_i = V_m           I_i = I_m           f_i = f

Soient donc les systèmes de tensions simples et de courants de ligne:

v₁(t) = V_m sin wt         v₂(t) = V_m sin (wt - 2p/3)         v₃(t) = V_m sin (wt - 4p/3)
i₁(t) = V_m sin (wt - f)        i₂(t) = V_m sin (wt - 2p/3 - f)        i₃(t) = V_m sin (wt - 4p/3 - f)

de valeurs efficaces et

La puissance instantanée d'un tel système est

          p(t) = v₁(t)i₁(t) + v₂(t)i₂(t) + v₃(t)i₃(t) = V_mI_m sin wt sin (wt - f)
                  + V_mI_m sin (wt - 2p/3) sin (wt - 2p/3 - f) + V_mI_m sin (wt - 4p/3) sin (wt - 4p/3 - f)
                  = (V_mI_m/2) {3cos f - [cos (2wt - f) + cos (2wt - 2p/3 - f) + cos (2wt - 4p/3 - f)]}
                  = (3/2) V_mI_m cos f = 3VI cos f

Remarques: En régime équilibré, la puissance fluctuante est nulle et la puissance instantanée triphasée est constante, égale à sa valeur moyenne qui s'identifie, comme on le vérifiera ultérieurement, à la puissance active triphasée. Cette propriété permet à une machine triphasée fonctionnant en régime équilibré de fournir ou absorber un couple constant contrairement à une machine monophasée dont le couple comportera en plus un terme en 2w.

Compte tenu de la définition de la puissance complexe triphasée, il apparaît que le théorème de Boucherot (§ 2.1.4) s'applique aussi dans le cas triphasé.

         2.2.2 Groupement étoile: cas général

Considérons le groupement étoile des trois impédances Z₁, Z₂ et Z₃, représenté sur la figure ci dessous.

D'après les définitions précédentes, (V₁, V₂, V₃) et (I₁, I₂, I₃) étant les nombres complexes représentant les tensions simples et les courants de ligne sur chaque phase, la puissance complexe absorbée par la charge triphasée (Z₁, Z₂, Z₃) s'exprime par:

S = S₁ + S₂ + S₃ = [(V₁ - V₀)I₁* + (V₂ - V₀)I₂* + (V₃ - V₀)I₃*] / 2
= [V₁I₁* + V₂I₂* + V₃I₃* - V₀(I₁ + I₂ + I₃)*] / 2

Deux cas sont à envisager:

                   - la ligne triphasée est à quatre fils, le point commun de potentiel O est connecté au neutre et

V₀ = 0;

                   - la ligne triphasée est à trois fils, la loi des nœuds impose alors:

I₁ + I₂ + I₃ = 0

Dans les deux cas on obtient:

S = [V₁I₁* + V₂I₂* + V₃I₃*] / 2

D'où les expressions de la puissance active absorbée par le groupement étoile, représentée par la partie réelle de S

P = P₁ + P₂ + P₃ = V₁I₁ cos f₁ + V₂I₂ cos f₂ + V₃I₃ cos f₃

et de la puissance réactive absorbée, représentée par la partie imaginaire de S

P = P₁ + P₂ + P₃ = V₁I₁ sin f₁ + V₂I₂ sin f₂ + V₃I₃ sin f₃

dans lesquelles V_i et I_i (i = 1, 2, 3) sont les valeurs efficaces des tensions et des courants V_i et I_i (i = 1, 2, 3) et f_i le déphasage entre le courant I_i et la tension V_i.

         2.2.3 Cas particulier du groupement étoile équillibré

Dans le cas d'une charge équilibrée (Z₁ = Z₂ = Z₃ = Z) les systèmes de tensions simples (V₁, V₂, V₃) et de courants de ligne (I₁, I₂, I₃) forment des STED respectivement de tensions et de courants (cf. § 1.4):

La puissance complexe est alors

S = S₁ + S₂ + S₃ = [V₁I₁* + V₂I₂* + V₃I₃*] / 2
= (3/2)V_mI_m e^jf = 3VI e^jf

où et sont les valeurs efficaces des courants I_i et des tensions V_i (i = 1, 2, 3). En introduisant la valeur efficace des tensions composées U_ij, (cf. § 1.4), la puissance complexe a pour expression

On en déduit, pour le groupement étoile équilibré, les expressions de:

                 - la puissance active:             
                 - la puissance réactive:         
                 - la puissance apparente:      

         2.2.4 Groupement triangle: cas général

Considérons le groupement triangle suivant des trois impédances Z₁, Z₂ et Z₃, dans lequel (V₁, V₂, V₃) et (U₁₂, U₂₃, U₃₁) d'une part et (I₁, I₂, I₃) et (J₁₂, J₂₃, J₃₁) d'autre part sont les nombres complexes associés aux tensions et aux courants correspondants.

La puissance complexe absorbée par la charge (Z₁, Z₂, Z₃) s'exprime par:

S = S₁ + S₂ + S₃ = [(V₁ - V₂)J₁₂* + (V₂ - V₃)I ₂₃* + (V₃ - V₁)J₃₁*] / 2
= [U₁₂J₁₂* + U₂₃J₂₃* + U₃₁J₃₁*] / 2

On en déduit les expressions de la puissance active absorbée par le groupement étoile, représentée par la partie réelle de S

P = P₁ + P₂ +P₃ = U₁₂J₁₂ cos f₁ + U₂₃J₂₃ cos f₂ + U₃₁J₃₁ cos f₃

et de la puissance réactive absorbée, représentée par la partie imaginaire de S

P = P₁ + P₂ +P₃ = U₁₂J₁₂ sin f₁ + U₂₃J₂₃ sin f₂ + U₃₁J₃₁ sin f₃

dans lesquelles U_ij et J_ij (i = 1, 2, 3; j = 2, 3, 1) sont les valeurs efficaces des tensions et des courants U_ij et J_ij (i = 1, 2, 3; j = 2, 3, 1).

         2.2.5 Cas particulier du groupement triangle équilibré

Si la charge triphasée est équilibrée (Z₁ = Z₂ = Z₃ = Z) les systèmes de tensions simples (V₁, V₂ , V₃) et composées (U₁₂, U₂₃, U₃₁) et les systèmes de courants de ligne (I₁ , I₂, I₃) et de branche (J₁₂, J₂₃, J₃₁) forment des STED (cf. § 1.4 et 1.6). On peut donc écrire:

La puissance complexe est alors

S = S₁ + S₂ + S₃ = = [U₁₂J₁₂* + U₂₃J₂₃ * + U₃₁J₃₁*] / 2 = (3/2)U_mJ_m e^jf
= 3UJ e^jf

où et sont les valeurs efficaces des courants J_ij et des tensions U_ij (i = 1, 2, 3; j = 2, 3, 1). On a montré que, dans le cas d'un groupement triangle équilibré, les valeurs efficaces des courants de ligne I_i et de branche J_ij sont liées par la relation (cf. § 1.6). Par substitution on obtient pour expression de la puissance complexe

On en déduit, pour le groupement étoile équilibré, les expressions de:

                 - la puissance active:             
                 - la puissance réactive:         
                 - la puissance apparente:      

Ces expressions sont identiques à celles obtenues pour le groupement étoile équilibré.

Suite - Mesure des puissances triphasées ==>