1) GENERALITES (suite)

1. 4 Plans réticulaires - Indice de Miller

On peut regrouper tous les points du réseau sur une famille de plans parallèles équidistants appelés plans réticulaires, d'une grande importance en cristallographie. Un plan peut être parfaitement définis par trois points quelconques non alignés de ce plan, ces points pouvant être, par exemple, les intersections avec les axes de coordonnées. Plutôt que de repérer le plan directement par les coordonnées de ses points d'intersection avec les axes, on préfère utiliser les indices de Miller, plus utiles en analyse des structures, qui s'obtiennent de la manière suivante:

Un repère (O, a, b, c) tel que le point O soit sur un noeud du réseau, étant choisi

         - on trouve les abcisses des points intersections du plan avec les trois axes soutenus par les vecteurs a, b et c,
         - on prend l'inverse de ces valeurs et on détermine les plus petits entiers h, k et l qui sont dans le même rapport que ces inverses.

Les nombres ainsi obtenus sont les indices de Miller du plan, qui est noté (h k l).

Si le plan est parallèle à un des axes de coordonnées, son intersection est rejetée à l'infini, l'indice correspondant est nul. Si le plan coupe l'axe dans sa partie négative, l'indice correspondant est négatif. Dans ce cas le signe moins est souvent placé au dessus de l'indice:

(h -k l) º (h ^¯k l)

Exemple:

Les intersections du plan avec les axes de coordonnées a, b et c, ont respectivement pour abcisses: 1, 2, 3. Les inverses de ces nombres sont: 1, 1/2, 1/3. Les plus petits entiers qui sont dans le même rapports que ces inverses sont: 6, 3, 2. Ce sont les indices de Miller du plan. Ce plan réticulaire sera donc noté (6 3 2).

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1. 5 Equations des plans réticulaires

Soit un réseau à trois dimensions, caractérisé par les vecteurs fondamentaux a, b, c et le repère (O, a, b, c) tel que l'origine O coincide avec un noeud de ce réseau, et le plan P dont les intersections avec les axes de coordonnées sont les points A(p, 0, 0), B(0, q, 0) et C(0, 0, r).
Les vecteurs

AB = -p a + q b         et        AC = -p a + r c

sont des vecteurs de ce plan. Un point quelconque X(x, y, z) appartient à P si et seulement si on a

AX = a AB + b AC

avec a et b réels, soit

(x - p) a + y b + z c = a (-p a + q b) + b (-p a + r c)

c'est à dire

x - p = - (a + b) p        y = aq         z = br

On en déduit l'équation du plan P dans le repère (O, a, b, c):

soit en multipliant par pqr

qr x + pr y + pq z = pqr

Soit e l'entier tel que

eh = qr        ek = rp         el = pq

et que les entiers (h, k, l) ainsi définis, soient les plus petits entiers dans le même rapport que les nombres (qr, pr, pq). Par définition, h, k et l sont les indices de Miller de ce plan. En substituant dans l'équation du plan P:

eh x + ek y + el z = pqr = (e³hkl)^1/2

soit en simplifiant par e

Le plan P doit contenir un grand nombre de noeuds du réseau. Il existe donc un grand nombre de triplets (m, n, p) de nombres entiers, qui sont les coordonnées de noeuds du réseau situés sur P, qui vérifient l'équation de P. Les indices de Miller h, k et l étant eux mêmes des entiers, les quantités (hm + kn + lp) et (ehkl)^1/2 sont des entiers. Les équations des plans réticulaires (h, k, l) sont donc de la forme

hx + ky + lz = N

où N est un entier relatif. Elles définissent une famille de plans parallèles. Le plan correspondant à N = 0 est celui qui passe par l'origine O des coordonnées. Les plans suivants les plus proches de O sont ceux obtenus pour N = ± 1.

Remarque: On passe du cas d'un réseau à trois dimensions à un réseau à deux dimensions en annulant un des indices. Cela revient à supposer qu'il s'agit d'un réseau à trois dimensions, que l'un des axes du repère de coordonnées est perpendiculaire au réseau et que la coordonnée selon cet axe est toujours nulle. On note que dans ce cas le "plan" réticulaire est en fait une droite située dans le plan du réseau.

Dans un repère normé (O, i, j, k) tel que les vecteurs de base i, j et k soient respectivement colinéaires aux vecteurs fondamentaux a, b et c:

a = a i          b = b j          c = c k

Les points d'intersection ont pour coordonnées

A(pa, 0, 0)        B(0, qb, 0)         C(0, 0, rc).

Un raisonnement similaire à celui présenté ci-dessus conduit à écrire qu'un point X(x, y, z) appartient au point P si et seulement si

x - pa = - (a + b) pa       y = a qb         z = b rc

d'où l'équation du plan P dans le repère normé (O, i, j, k)

Les mêmes considérations que ci-dessus concernant les noeuds du réseau appartenant au plan P, conduisent alors pour les plans réticulaires (h, k, l), à des équations de la forme

où N est un entier relatif.

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