1) GENERALITES (suite)

1. 6 Distance inter-réticulaire

Pour calculer la distance entre deux plans il faut se placer dans un repère orthonormé. Dans un réseau à trois dimensions caractérisés par les vecteurs fondamentaux a, b et c, choisissons donc le repère (O, X, Y, Z) orthonormé tel que O soit situé sur un noeud du réseau et que le vecteur X, normé, coincide avec le vecteur fondamental a du réseau.

Les vecteurs a, b et c ont pour composantes:

Soit un point M de coordonnées (x, y, z) dans le repère (O, a, b, c) et (X, Y, Z) dans le repère (O, X, Y, Z):

OM = X X + Y Y + Z Z = x a + y b + z c

En remplaçant les vecteurs a, b et c par leurs expressions on obtient:

On en déduit les expressions de x, y et z

L'équation du plan (h k l) le plus proche de l'origine O, dans le repère (0, a, b, c), est

hx + ky + lz =1

En substituant les expressions de x, y et z, on obtient l'équation du plan (h k l) dans le nouveau repère (O, X, Y, Z)

mx + ny + pz =1

avec

Les vecteurs

u = n X - m Y       et      v = -p Y + n Z

sont des vecteurs indépendants des plans (h k l). Le vecteur

w = v x u = mn X + n² Y + np Z,

produit vectoriel de u par v, est normal au plan (h k l). Dans le repère (O, X, Y, Z), la droite D parallèle à w qui passe par l'origine O a pour équation:

(cf. Equations des rangées)

L'intersection entre le plan (h, k, l) le plus proche de O et la droite D est le point H dont les coordonnées (x, y, z) vérifient à la fois l'équation du plan et celles de la droite D, soit:

mx + ny + pz =1
n²x - mny = 0
npy - n²z = 0

La résolution de ce système conduit à

La distance entre le premier plan (h, k, l) et l'origine O est donc:

Cette distance ne dépend que des indices m, n et p c'est à dire des indices de Miller (h, k, l) du plan. Le plan d'équation

hx + ky + lz =0

est le plan (h, k, l) qui passe par l'origine. La distance d_hkl est donc la distance entre deux plans (h, k, l) consécutifs quelconques. C'est la distance inter-réticulaire.

1. 7 Mailles élémentaires

Dans un réseau à trois dimensions, défini par les vecteurs fondamentaux a, b et c, on appelle maille élémentaire ou maille fondamentale, le parallèlépipède construit sur ces trois vecteurs. En chacun des sommets de cette maille se trouve un noeud du réseau. Mais ce dernier étant partagé entre huit mailles adjacentes, la maille élémentaire contient donc au total un seul noeud. De même, si la base est constituée de N atomes, la maille élémentaire du cristal doit contenir ces N atomes, c'est à dire une fois la base. Que ce soit pour définir le réseau seul ou la structure cristalline, la maille élémentaire est le plus petit élément de volume contenant toute l'information.

Connaissant les vecteurs fondamentaux a, b et c, le volume de la maille élémentaire s'exprime par :

V = | a x b . c |

Dans le repère orthonormé (O, X, Y, Z) défini ci-dessus au paragraphe 1.6, le volume de la maille élémentaire est donc:

Maille de Wigner-Seitz:

Une maille élémentaire peut aussi être obtenue en traçant les lignes qui relient un noeud donné à ces voisins, puis les plans médians de ces segments. Le volume délimité de cette manière est la maille élémentaire de Wigner-Seitz.

Sur la figure ci-dessous est représentée la maille élémentaire de Wigner-Seitz d'un réseau plan.

Dans un tel réseau à deux dimensions les plans médians deviennent les médiatrices des segments reliant le noeud central à ses voisins (Intersection entre les plans médians et le plan du réseau).

Remarque: On est parfois amené à décrire un réseau par des vecteurs qui ne sont pas des vecteurs fondamentaux. La maille qu'ils définissent alors n'est plus une maille élémentaire. Si elle contient n noeuds, elle est dite multiple d'ordre n

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