1) DEFINITIONS

1. 1 Composantes contrevariantes

Comme nous l'avons signalé dans la présentation de cette  partie, une grandeur physique appartient à un espace vectoriel. Cet espace vectoriel, attaché à une grandeur physique particulière, possède souvent en physique une dimension finie. Si n est cette dimension, on peut trouver n vecteurs linéairement indépendants E₁, E₂,...,E_n définissant une base de cet espace vectoriel et décomposer tout vecteur X de cet espace sous la forme:

où les x_i qui appartiennent au corps des scalaires sur lequel est construit l'espace vectoriel considéré, sont les composantes contrevariantes du vecteur X.

1. 2 Convention d'Einstein

De façon plus concise, la relation précédente peut encore s'écrire

X = xⁱ E_i

en utilisant la convention d'Einstein de sommation sur un indice muet qui suit les règles suivantes:

     - Lorsqu'un même indice figure deux fois dans un monôme, une fois en haut et une fois en bas, on sous-entend la sommation sur toutes les valeurs que peut prendre cet indice. Cet indice est dit muet et peut être changé.

     - Un indice non muet est dit indice réel et ne peut apparaître qu'une fois dans un monôme.

1. 3 Mesure d'une grandeur Physique

La mesure d'une grandeur physique appartenant à un espace vectoriel E est liée à la notion de norme définie dans ce dernier. Un espace vectoriel est dit normé si à tout vecteur X de cet espace on peut associé un nombre réel positif  ||X||, appelé norme du vecteur X, qui vérifie les propriétés suivantes:

Quelques soient les vecteurs X et Y de l'espace vectoriel E et l un scalaire du corps des scalaires associé à E

||X|| = 0   <=>   X = 0     (0 étant le vecteur nul de E)
||l X|| = |l | ||X||
||X + Y|| £ ||X|| + ||Y||

Le module d'une grandeur physique X est une caractéristique physique qui vérifie les propriétés ci-dessus, aussi peut-on utiliser ce module comme norme de l'espace vectoriel E attaché à X. Quel que soit la dimension de E, on peut définir l'unité de mesure de la grandeur physique X comme étant le module ||U|| d'un vecteur U de E, unique, choisi comme étalon. La mesure de X revient alors à la détermination de son vecteur de mesure x défini par

X = ||U|| x

La nature de la grandeur physique X est contenue dans le terme ||U||. Le vecteur x est simplement une grandeur mathématique de l'espace vectoriel dans lequel on représente X. Il est indépendant de la nature de X. On peut choisir comme base normée de l'espace vectoriel E, associée à X, n vecteurs E_i de norme ||U||. Les n vecteurs mesure e_i de ces vecteurs sont de modules égaux à 1 puisque

E_i = ||U|| e_i       et        ||E_i|| = ||U|| ||e_i|| = ||U||

=>    ||e_i|| = 1

Ces vecteurs mesure sont donc invariants par changement d'unité de mesure. Ce sont des vecteurs unitaires qui forment une base normée de l'espace vectoriel dans lequel on représente la grandeur physique X, espace sans lien avec la nature de X, alors que les vecteurs E_i formaient une base de l'espace vectoriel attaché à la grandeur X. On a

X = xⁱ E_i = xⁱ ||U|| e_i      et donc      x = xⁱ e_i

Le vecteur mesure x de la grandeur physique X est donc un vecteur de l'espace dans lequel on représente X et dont les composantes contrevariantes xⁱ dans la base des vecteurs e_i sont égales aux composantes de la grandeur physique X dans la base des vecteurs E_i de l'espace vectoriel attaché à cette grandeur.

Si X et Y sont de deux grandeurs physiques de natures différentes, appartenant respectivement aux espaces vectoriels E et F, le produit scalaire de leurs vecteurs mesure x et y dans l'espace choisi pour les repésenter permet de les associer. En posant:

x = xⁱ e_i      et      y = x^j e_j

x.y = xⁱ e_i. y^j e_j = xⁱ y^j e_i. e_j= g_ij xⁱ y^j

avec g_ij = e_i. e_j

L'espace vectoriel choisi, muni du produit scalaire, est alors dit Euclidien.

Si les e_i forment une base orthonormée, g_ij s'identifie au symbole de kronecker

                      0 si i ¹ j
g_ij = d_ij = {
                      1 si i = j

et le produit scalaire se réduit à

Dans la suite de l'exposé il est sous-entendu, sans que cela ne soit explicitement spécifié, que les grandeurs physiques sont représentées par leurs vecteurs mesure.

1. 4 Base duale et composantes covariantes

Soit E un espace vectoriel euclidien de dimension n et n vecteurs e_i constituant une base de E. Un vecteur quelconque x de E se décompose sur cette base en

x = xⁱ e_i

où les scalaires xⁱ sont les composantes contrevariantes de x (cf. § 1.1).

Définissons une nouvelle base formée par les n vecteurs e^j de E par les n² relations

              0 si i ¹ j
d_i^j = {
              1 si i = j

et convenons de noter x_j les composantes du vecteur x sur cette nouvelle base, appelée base duale des e_i. En utilisant le convention d'Einstein on a donc

x = x_j e^j = xⁱ e_i

Les scalaires x_j sont appelés composantes covariantes du vecteur x. Il faut noter que dans le cas général les x_j et les xⁱ sont des nombres différents puisqu'ils sont les composantes d'un même vecteur sur deux bases différentes.

Les relations

x. e^k = xⁱ e_i. e^k = xⁱ d_i^k = x^k
x. e_k = x_j e^j. e_k = x_j d_k^j = x_k

Il apparaît que les composantes covariantes du vecteur x sont les produits scalaires de x et des vecteurs e_i de la base ordinaire. De même ses composantes contrevariantes de x sont les produits scalaires de x et des vecteurs e^j de la base duale.

En d'autres termes:

        - La composante contrevariante xⁱ du vecteur x s'obtient en projetant le vecteur x sur l'axe défini par le vecteur de la base ordinaire e_i, parallèlement à l'hyperplan défini par les vecteurs e_j (i ¹ j) de la base ordinaire;
        - La composante covariante x_i du vecteur x s'obtient par projection orthogonale du vecteur x sur l'axe défini par le vecteur e_i de la base ordinaire.

Exemple:

Remarque: La relation définissant la base duale montre que si les vecteurs e_i de la base ordinaire constituent une base orthonormée, ils sont confondus avec les vecteurs e^j de la base duale. Les composantes contrevariantes xⁱ et covariantes x_j du vecteur x sont alors égales.

1. 5 Produit scalaire

Considérons les vecteurs e_i formant une base de l'espace vectoriel euclidien E et les vecteurs e^j, la base duale des vecteurs e_i. Le produit scalaire de deux vecteurs x et y quelconques de E, de coordonnées contrevariantes respectives xⁱ et yⁱ

x = xⁱ e_i = x_j e^j         y = yⁱ e_i = y_j e^j

peut s'écrire

x.y = xⁱ e_i. y_j e^j = xⁱ y_j e_i. e^j = xⁱ y_j d_i^j
= xⁱ y_i

1. 6 Dérivées partielles

En utilisant la convention d'Eintein, les dérivées partielles d'une fonction f par rapport aux coordonnées contrevariantes et covariantes s'écrivent respectivement

et la différentielle totale de f

Suite - Changement de base ==>