3) IMPEDANCES CYCLIQUES

Les trois phases des dispositifs triphasés, qu'ils soient générateurs, lignes ou récepteurs, ne peuvent être considérées comme indépendantes en raison des interactions électromagnétiques entre elles. Toutefois, lorsque la construction est symétrique, la notion d'impédance cyclique permet de définir un schéma monophasé équivalent. Il n'existe pas de méthode générale pour construire ces schémas monophasés équivalents. Nous en allons étudier deux exemples.

3. 1 Alternateur triphasé

Soit un alternateur triphasé dont les enroulement statoriques sont couplés en étoile, E₁, E₂ et E₃, les fem respectives de chacune des phases, supposées sinusoïdales. Par conception de l'alternateur (E₁, E₂, E₃) forme un système triphasé équilibré que nous supposerons direct. Les impédances internes sur chaque phase sont identiques, égale à Z = R + jLw.

Dans ces conditions la tension V_i de la phase i est

V_i = E_i - RI_i - jLwI_i - jM_ijwI_j - jM_ikwI_k                    (i = 1, 2, 3; j = 2, 3, 1; k = 3, 1, 2 )

Les coefficients de mutuelle inductance M_ij quantifient les interactions entre les phases d'indices i et j. Si la construction est symétrique, M_ij = M. Si de plus on a I₁ + I₂ + I₃ = 0, ce qui est le cas pour des lignes triphasées à trois fils ou lorsque le régime est équilibré en courant, on peut écrire

V_i = E_i - RI_i - jLwI_i - jMw (I_j + I_k) = E_i - RI_i - jLwI_i + jMwI_i
= E_i - RI_i - j(L - M)wI_i

avec i = 1, 2, 3; j = 2, 3, 1; k = 3, 1, 2

ou en posant Z_c = R + j(L - M)

V_i = E_i - Z_cI_i                    avec i = 1, 2, 3

Cette formulation de la relation entre le courant, la tension et la fem présente l'avantage de ne faire référence qu'à la phase d'indice i, toutes les interactions étant incluses dans le coefficient de mutuelle inductance M. Z_c est l'impédance cyclique de la phase et L_c = L - M son admittance cyclique. Le fonctionnement de la phase i est donc décrit par le schéma monophasé équivalent suivant:

3. 2 Ligne triphasée en régime équilibré

On considère cette fois un tronçon de ligne triphasée en régime équilibré, en tensions et courants. Soient (I₁, I₂, I₃) et (I '₁, I '₂, I '₃), respectivement les courants à l'entrée et en sortie du tronçon de ligne considéré, et de même (V₁, V₂, V₃) et (V '₁, V '₂, V '₃) les tensions simples à l'entrée et en sortie. Cette ligne peut être modélisée par le schéma suivant:

Les termes D₀I₁, D₀I₂ et D₀I₃ représentent les pertes de courant de la phase 1 vers le neutre et D_jI_i entre les phases i et j, Y et Y ' désignant les admittances, d'une part entre phase et neutre, d'autre part entre deux phases. Les coefficients M_ij sont, quant à eux, les coefficients de mutuelle inductance entre les phases i et j. L'impédance Z = R + jLw quantifie la chute de tension le long de la ligne.

Si la ligne est symétrique les coefficients de mutuelle inductances sont identiques (M_ij = M). La chute de tension sur la phase i s'écrit

DV_i = V_i - V '_i = (R + jLw) I '_i + jM_ijwI '_j + jM_ikwI '_k
= (R + jLw)I '_i + jMw (I '_j + I '_k)                   
                      = (R + jLw)I '_i - jMwI '_i                         (I '₁ + I '₂ + I '₃ = 0)
= RI '_i + j(L - M)wI '_i                                     

avec i = 1, 2, 3; j = 2, 3, 1; k = 3, 1, 2

Soit en introduisant l'impédance cyclique Z_c = R + j(L - M)w

DV_i = Z_cI '_i

Les pertes de courants de la phase i s'expriment par

DI_i = I_i - I '_i = D₀I_i + D_jI_i + D_kI_k = YV_i + Y '(V_i - V_j) + Y '(V_i - V_k)
= (Y + 2Y ')V_i - Y '(V_j + V_k)                                                    
          = (Y+ 3Y ')V_i                                                        (V_i + V_j + V_k = 0)

avec i = 1, 2, 3; j = 2, 3, 1; k = 3, 1, 2

Soit en posant Y_c = Y + 3Y '

DI_i = Y_cV_i                (i = 1, 2, 3)

Y_c est l'impédance cyclique de la ligne triphasée.

De nouveau la relation entre courant et tension ne concerne la phase i. Le fonctionnement de la phase i est entièrement décrit par le schéma équivalent monophasé ci-dessous

3. 3 Intérêt et conditions

L'intérêt des impédances et admittances cycliques est, bien sûr, de permettre de ramener l'étude d'un système de trois phases en interaction à celle d'un système monophasé. Par ailleurs, la détermination de l'impédance ou l'admittance d'un dispositif triphasé étant le plus souvent effectuée alors que les trois phases sont en fonctionnement et donc en interaction, ce sont les grandeurs cycliques qui sont obtenues et non celles propres à chaque phase.

L'utilisation du modèle monophasé a toutefois ses contraintes:

                              - le régime doit être équilibré en tensions et courants,
                              - l'utilisation des courants de ligne et des tensions simples,
                              - les couplages en étoile des dispositifs.

De plus, la modélisation par les impédances et admittances cycliques suppose implicitement la symétrie de réalisation du dispositif puisque les interactions entre les phases sont considérées identiques.

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