3) TENSEURS DU DEUXIEME ORDRE

Considérons les vecteurs  e_i et e^j  (i, j = 1, 2, ..., n) constituant respectivement une base {e} de l'espace vectoriel E de dimension n et sa base duale {e*} dans E*.

3. 1 Tenseurs symétriques et antisymétriques

Soit un tenseur V du deuxième ordre deux fois covariant. C'est par définition une forme bilinéaire sur E x E, c'est à dire un élément de E* Ä E*. Sur la base eⁱ Ä e^j de E* Ä E*, V se décompose en

V = V_ij eⁱ Ä e^j

(cf. Composantes d'un tenseur)

Si quelle que soit la base {e} de E, et donc {e*} sa base duale dans E*, on a

V_ij = V_ji

le tenseur V est dit symétrique. Il est dit antisymétrique si, toujours quelle que soit la base {e} de E et sa base duale {e*} dans E*, ses composantes sont telles que:

V_ij = - V_ji

De la même manière, un tenseur U deux fois contrevariant de E Ä E:

U = U ^ij e_i Ä e_j

est dit symétrique si, quelle que soit la base {e} de E, on a

U ^ij = U ^ji

et antisymétrique si, quelle que soit la base {e} de E, la propriété

U ^ij = - U ^ji

est vérifiée.

On peut remarquer que tout tenseur V de E* Ä E* se décompose de façon unique comme la somme de deux tenseurs V_s et V_a de E* Ä E*, le premier symétrique et le second antisymétrique:

V = V_ij eⁱ Ä e^j       V_s = (V_s )_ij eⁱ Ä e^j       V_a = (V_a )_ij eⁱ Ä e^j

V = V_s + V_a       <=>      V_ij = (V_s )_ij + (V_a )_ij

avec

On a bien sûr la propriété équivalente pour un tenseur U de E Ä E:

U = U ^ij e_i Ä e_j       U_s = (U_s )^ij e_i Ä e_j       U_a = (U_a )^ij e_i Ä e_j

U = U_s + U_a       <=>      U ^ij = (U_s )^ij + (U_a )^ij

avec

Par construction, les tenseurs V_s et U_s sont symétriques et les tenseurs V_a et U_a antisymétriques.

3. 2 Tenseurs mixtes