1) ELECTROSTATIQUE DES CONDUCTEURS (suite)

1. 7 Energie électrostatique d'un ensemble de conducteurs

Comme au paragraphe précédent, considérons un ensemble de n conducteurs C_j, j variant de 1 à n, à l'équilibre électrostatique, répartis dans l'espace et portant chacun une charge Q_j et appelons V_j et S_j respectivement le potentiel et la surface du conducteur C_j.

On sait que les charges Q_j se répartissent sur la surface des conducteurs ( cf. 1.3 ). Si s(M) désigne la densité surfacique de charge au point M, M étant un point appartenant à l'une des surface S_j, l'énergie de l'ensemble de conducteurs a pour expression:

où V(M) est le potentiel au point M, S la surface totale du système, c'est à dire la réunion des surface S_j et dS l'élément de surface entourant le point M.
(cf. Energie électrostatique d'une distribution continue de charges)

Soit s_j(M_j ) la valeur prise par la densité de surface s(M) en chaque point M_j de S_j. Le potentiel étant le même en tout point de la surface S_j ( V_j(M_j ) = V_j ), l'énergie électrostatique du système peut s'écrire

où dS_j est la surface élémentaire autour du point M_j, soit

(cf. Equilibre électrostatique d'un système de conducteurs)

Remarque: Un cas particulier intéressant est celui d'un conducteur C_j, isolé dans l'espace en équilibre électrostatique. Le seul coefficient C_ji non nul est C_jj qui est égal à la capacité de C_j. Notons C, V et Q respectivement la capacité, le potentiel et la charge du conducteur C_j. L'énergie du conducteur a alors pour expressions

W = (1/2) QV = (1/2) CV² = (1/2) [ Q²/ C ]

1. 8 Propriétés des capacités et coefficients d'influence - Identité de Gauss

Les coefficients d'influence C_ji et les capacités C_jj d'un système de conducteurs à l'équilibre électrostatique ne sont pas tous indépendants et possèdent quelques propriétés utiles dans l'étude des problèmes.

Pour les mettre en évidence, considérons un ensemble de n conducteurs C_j, à l'équilibre électrostatique. Le potentiel étant supposé nul à l'infini, portons le conducteur C_k à un potentiel V_k > 0, alors que tous les autres potentiel V_j sont maintenus à zéro. Les charges Q_j s'écrivent dans ce cas

Q_k = C_kk V_k            Q_j = C_jk V_k

(cf. Equilibre électrostatique d'un système de conducteurs)

Si V_k > 0, le potentiel décroît du conducteur C_k vers les autres conducteurs C_j ou l'infini. Le champ est donc orienté vers l'extérieur au voisinage du conducteur C_k, tandis qu'il est dirigé vers le conducteur au voisinage des C_j. Par conséquent, la densité surfacique de charges est positive sur C_k et négative sur les autres conducteurs C_j (cf. Champ électrique au voisinage d'un conducteur). Il s'en suit que la charge Q_k est positive alors que les charges Q_j  (k ¹ j) sont négatives.

On en déduit que, quels que soient les indices k et j (k ¹ j)

C_kk > 0        et          C_jk < 0

Considérons maintenant deux états d'équilibre du système, caractérisés respectivement par les couples de charges et de potentiels (Q_j, V_j ) et (Q_j', V_j' ). On sait que ces charges et ces potentiels sont liés par les relations:

(cf. Equilibre électrostatique d'un système de conducteurs)

On peut donc écrire:

Les indices i et j sont muets, par conséquent ces deux quantités sont égales:

Cette relation est constitue l'identité de Gauss.

Appliquons cette propriété au cas particulier suivant:

                     - 1^er état: Le conducteur C_k est porté au potentiel V_k, les autres étant maintenus au potentiel zéro;
                     - 2^ème état: Le conducteur C_l est porté au potentiel V_l', les autres étant maintenus au potentiel zéro.

Dans ce cas, les quantités précédentes s'expriment par

et l'identité de Gauss montre alors que

C_lkV_kV_l' = C_klV_l'V_k

C'est à dire que

C_lk = C_kl

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