2) CONDENSATEURS (suite)

2. 4 Capacité d'un condensateur plan

Considérons deux plans conducteurs infinis parallèles C₁ et C₂, séparés par une distance d, dont les potentiels respectifs sont V₁ et V₂. Pour étudier ce système, définissons un repère orthonormé (O, i, j, k) tel que O soit un point sur C₁ et que le vecteur k, normal au deux plans, soit orienté de C₁ vers C₂.

Soit un point M(x, y, z) situé dans la partie de l'espace comprise entre les conducteurs C₁ et C₂. En M, le potentiel électrique V(M) doit vérifier l'équation de Laplace:

DV(M) = 0

C₁ et C₂ étant infinis selon Ox et Oy, le potentiel est invariant par translation selon ces directions et ne peut dépendre que de la coordonnée z. On a donc la relation:

par intégration on en déduit

V(M) = Az + B

où A et B sont des constantes.

De plus, sur les conducteurs C₁ et C₂, le potentiel V(M) prend respectivement les valeurs V₁ et V₂, c'est à dire que, si d est :

      - pour M sur C₁
                                  z = 0        V(M) = V₁ = B

      - pour M sur C₂
                                  z = d        V(M) = V₂ = Ad + B         A = ( V₂ - V₁ ) /d

d'où

On en déduit le champ électrique E(M) entre C₁ et C₂

Entre les armatures du condensateur plan E(M) est uniforme et orienté de l'armature de potentiel le plus élevé vers celle de potentiel le plus bas.

Soit s la densité surfacique de charges sur l'armature de potentiel le plus élevé. Le système étant invariant par translation selon Ox et Oy, la densité s est nécessairement uniforme. Le champ électrique au voisinage de ce conducteur est

E(M) =  (s/e₀ ) n

où n est le vecteur unitaire normal au conducteur orienté vers l'extérieur de celui-ci

Compte tenu de la remarque précédente concernant l'orientation du champ E(M) entre les armatures C₁ et C₂, il apparaît que la densité de charges s est positive. Même si on ne peut définir pour le système une armature intérieure et une armature extérieure, les plans conducteurs étant infinis, ils sont en influence totale et par conséquent la densité de charges sur l'armature de potentiel le plus bas est s' = - s.

Supposons que C₁ soit l'armature de potentiel le plus élevé ( V₁ > V₂ ). La charge portée par une surface S de C₁ est Q = s S. En remarquant que dans ce cas n = k, on a

E(M) = (Q/ Se₀ ) k

La comparaison avec l'expression de E(M) calculée précédemment donne

On en déduit la capacité C d'une surface S de ce condensateur plan

Q = C ( V₁ - V₂ )     avec      C = e₀S/d

Remarque: Un condensateur plan infini n'est bien sûr pas réalisable. Néanmoins lorsque les plans conducteurs sont de dimensions grandes devant la distance d qui les sépare, on peut négliger la non uniformité du champ électrique au voisinage des extrémités des plans et appliquer la relation précédente pour déterminer la capacité de ce condensateur.

2. 5 Capacité d'un condensateur cylindrique

Soient deux conducteurs cylindriques coaxiaux C₁ et C₂, de longueurs infinies et de bases circulaires, tels que C₂ enveloppe completement C₁. C₁ est alors l'armature interne du condensateur ainsi constitué et C₂ son armature externe. Appelons R₁ le rayon du conducteur C₁ et R₂ le rayon interne du conducteur C₂.

Pour étudier ce système, définissons le repère cylindrique (O, u_r, u_q, k) tel que le point O soit sur l'axe commun des deux conducteurs et le vecteur unitaire k parallèle à cet axe.

En un point M(r, q, z), compris dans l'espace interconducteur délimité par C₁ et C₂, le potentiel scalaire V(M) doit vérifier l'équation de Laplace:

DV(M) = 0

Le système étant invariant par rotation autour de l'axe défini par k et par translation le long de ce dernier, le potentiel ne peut dépendre que de la composante radiale r. La relation précédente s'écrit donc

(cf. Analyse vectorielle > Coordonnées cylindriques)

Par intégration on en déduit

V(M) = A ln r + B

Si V₁ et V₂ désignent respectivement les potentiels des conducteurs C₁ et C₂, on a

V₁ = A ln R₁ + B     et      V₂ = A ln R₂ + B

d'où

A = (V₁ - V₂ )/ ln (R₁/ R₂ )      et     B = V₂ - A ln R₂

et

Le champ électrique dans l'espace interconducteur est donc

Parallèlement, le théorème de Gauss permet aussi de déterminer l'expression de E(M). Pour l'appliquer, choisissons une surface fermée cylindrique S, de base circulaire, de même axe que C₁ et C₂, de longueur h et telle que le rayon r de sa base soit compris entre R₁ et R₂. Si Q est la charge électrique portée par le tronçon du conducteur C₁ contenu dans S et E(M) le module de E(M), on a

{E(M) = E(M) u_r}

dS est l'élément de surface entourant le point M de S et n(M) est le vecteur unitaire normal à S au point M, orienté vers l'extérieur.

On en déduit une nouvelle expression du champ électrique dans l'espace interconducteur:

En comparant les deux expressions de E(M), on obtient

ainsi que la capacité C d'un tronçon de longueur h de ce condensateur:

Q = C ( V₁ - V₂ )     avec

Remarque: En pratique les conducteurs C₁ et C₂ ne sont bien sûr jamais infiniment longs. Mais lorsque leurs longueurs sont grandes devant les rayons R₁ et R₂, les perturbations de champ aux extrémités sont négligeables et l'expression est applicable.

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