2) CONDENSATEURS

2. 1 Introduction

On appelle condensateur un système de deux conducteurs C₁ et C₂ séparés par du vide ou un matériau isolant. C₁ et C₂ constituent les armatures du condensateur. D'après ce qui précède, on a les relations

Q₁ = C₁₁V₁ + C₁₂V₂
Q₂ = C₂₁V₁ + C₂₂V₂

V₁ et V₂ sont respectivement les potentiels des conducteurs C₁ et C₂, Q₁ et Q₂ les charges qu'ils portent. Les coefficients C_ij sont les capacités et les coefficients d'influence entre les deux conducteurs.

2. 2 Influence partielle - Influence totale

Soient deux conducteurs C₁ et C₂ extérieurs l'un à l'autres, isolés dans l'espace, portant sur leurs surfaces respectivement les charges Q₁ et Q₂ et dont les potentiels sont désignés par V₁ et V₂. le potentiel est supposé nul à l'infini. Les propriétés propriétés des capacités et coefficients d'influence établies dans le cas général s'appliquent à ce cas particulier, soit

C₁₁ > 0         C₂₂ > 0         C₂₁ = C₁₂ < 0

Supposons que les deux conducteurs C₁ et C₂ soient portés à un même potentiel V positif:

V₁ = V₂ = V

Les égalités décrivant cet équilibre électrostatique sont:

Q₁ = ( C₁₁ + C₁₂ )V
Q₂ = ( C₂₁ + C₂₂ )V

Le potentiel V étant positif, au voisinage de C₁ et C₂, le champ électrique est orienté vers l'extérieur des deux conducteurs. Il s'en suit que la densité surfacique de charges sur les deux conducteurs est positive et il en est de même pour les charges Q₁ et Q₂ (cf. Champ électrique au voisinage d'un conducteur). On en déduit les inégalités:

C₁₁ + C₁₂ > 0          C₁₁ > - C₁₂
C₂₂ + C₂₁ > 0         C₂₂ > - C₂₁

Les conducteurs sont dit en influence partielle.

Imaginons maintenant que le conducteur C₁ soit, sans contact électrique, totalement inclus à l'intérieur du conducteur C₂. Q₁, Q₂ désignent respectivement les charges sur les surfaces de C₁ et C₂ et le potentiel est supposé nul à l'infini.

La charge Q₂ du conducteur extérieur C₂ est répartie entre la charge Q₂' sur sa surface intérieure S₂' et Q₂" sur sa surface extérieure S₂".

Q₂ = Q₂' + Q₂"

Le champ électrique à l'intérieur d'un conducteur étant nul, l'application du théorème de Gauss à une surface S comprise entre S₂' et S₂" s'exprime par

Ce qui conduit à

Q₂' + Q₁ = 0        ou        Q₂' = - Q₁

Si on porte à présent les deux conducteurs au même potentiel V, on a

Q₁ = ( C₁₁ + C₁₂ )V
Q₂ = ( C₂₁ + C₂₂ )V

Quel que soit le parcours C, choisi entre un point A₁ de S₁ et un point A₂ de S₂', la circulation du vecteur champ électrique E(M) est nulle.

(cf. Analyse vectorielle > Vecteur gradient)

On en déduit que, lorsque les conducteurs C₁ et C₂ sont au même potentiel,

Q₁ = ( C₁₁ + C₁₂ )V = 0         et          Q₁ = - Q₂' = 0

et par suite

C₁₁ + C₁₂ = 0         et        C₁₂ = C₂₁ = - C₁₁

Les deux conducteurs sont dits en influence totale.

On peut aussi noter que, la charge Q₂' sur S₂' étant nulle, on a

Q₂ = Q₂"

La totalité de la charge du système formé par C₁ et C₂, est concentrée sur la surface extérieure S₂" du conducteur C₂. Le système se comporte comme un conducteur unique de surface S₂".

2. 3 Capacité d'un condensateur

Considérons un condensateur constitué de deux conducteurs C₁ et C₂ en influence totale (cf. § 2. 2). Désignons par Q₁ et V₁ la charge et le potentiel électriques du conducteur intérieur C₁, et par Q₂ et V₂ la charge et le potentiel électriques du conducteur extérieur C₂. D'après les relations établies au paragraphe précédent, on a

Q₁ = C₁₁V₁ + C₁₂V₂ = C₁₁ ( V₁ - V₂ )
Q₂ = C₂₁V₁ + C₂₂V₂ = - C₁₁ V₁ + C₂₂ V₂

Il est d'usage d'appeler "charge du condensateur" la charge Q₁ portée par le conducteur intérieur C₁ et d'appeler "capacité du condensateur" le coefficient C₁₁. En désignant respectivement par Q et C ces deux grandeurs

Q = Q₁       et        C = C₁₁

la première des relations ci-dessus s'écrit

Q = C ( V₁ - V₂ )

Egalité qui relie donc la charge, la capacité et la différence de potentiel entre les armatures d'un condensateur. L'unité de capacité est le Farad.

La deuxième relation s'écrit quant à elle

Q₂ = - C V₁ + C₂₂ V₂

Comme précédemment, on peut séparer Q₂ en deux parties: Q₂' la charge distribuée sur la surface intérieure de C₂ et Q₂" la charge répartie sur sa surface extérieure.

Q₂ = Q₂' + Q₂"

Les deux conducteurs étant en influence totale,

Q₂' = - Q₁ = - Q

et on a donc

Q₂" = Q₂ - Q₂' = Q₂ + Q = - CV₁ + C₂₂V₂ + C ( V₁ - V₂ )
= ( C₂₂ - C ) V₂

La charge sur la surface extérieure du conducteur extérieur C₂ est indépendante du potentiel du conducteur intérieur C₁.

Suite - Capacité d'un condensateur plan ==>