2) CONDENSATEURS (suite)

2. 6 Condensateurs en parallèle

Connectons en parallèle n condensateurs, de capacités C₁, C₂, ...C_n, de façon à ce que, pour chacun d'entre eux, l'une des armatures soit portée au potentiel V₁ et l'autre au potentiel V₂.

La charge Q_i du ième condensateur s'exprime par:

Q_i = C_i ( V₁ - V₂ )        ( 1 £ i £ n )

(cf. Capacité d'un condensateur)

La charge totale Q du système formé par les n condensateurs est

Les n condensateurs en parallèle sont donc équivalents à un condensateur unique

Q = C ( V₁ - V₂ )

dont la capacité C est donnée par

2. 7 Condensateurs en série

Soient (n - 1) condensateurs, de capacités C₁, C₂, ...C_n-1, connectés en série, de telle sorte que les deux armatures du condensateur d'indice i soient reliées respectivement à la seconde armature du condensateur d'indice (i - 1), et à la première armature du condensateur (i + 1).

Le système étant initialement non chargé, on impose entre les points A et B une différence de potentiel V₁ - V_n. Désignons par V_i le potentiel de la première armature du ième condensateur et par V_i+1 celui de la seconde.

On a alors

V₁ - V_n = ( V₁ - V₂ ) + ( V₂ - V₃ ) +....+ ( V_n-1 - V_n )

Si Q_i est la charge portée par le ième condensateur, par définition de capacité d'un condensateur, on a

Q_i = C_i ( V_i - V_i+1 )

et la relation précédente s'écrit

Les armatures des condensateurs étant en influence totale, une charge Q_i sur la première armature de l'élément i entraîne une charge -Q_i sur la seconde et par suite, le système étant initialement non chargé, une charge Q_i sur la première armature de l'élément (i + 1). Au final, tous les condensateurs du système possèdent la même charge Q:

Q = Q₁ = Q₂ = ...=Q_n-1

et la relation ci-dessus se factorise en

Les (n - 1) condensateurs en parallèle sont donc équivalents à un condensateur unique

Q = C ( V₁ - V₂ )

dont la capacité C est telle que

La grandeur 1/C est appelée capacitance du système de condensateurs.

2. 8 Energie d'un condensateur

On appelle énergie d'un condensateur chargé, l'énergie qu'il est succeptible de libérer lors de sa décharge, c'est à dire lorsqu'on on fait varier le potentiel de son armature interne, depuis sa valeur initiale en charge jusqu'à celle de l'armature externe, pris comme référence des potentiels. Ceci peut être réalisé, par exemple, en reliant les deux armatures par un fil métallique.

Un condensateur dont les potentiels des armatures interne et externe sont respectivement V₁ et V₂ a pour énergie électrostatique totale

W₁ = (1/2) ( C₁₁V₁² + 2 C₁₂V₁V₂ + C₂₂V₂² )

où les C_ij désignent les coefficients d'influence et de capacité du système de deux conducteurs constitué par le condensateur.

(cf. Energie électrostatique d'un ensemble de conducteurs)

Le potentiel V₂ de l'armature externe étant maintenu constant, après la décharge du condensateur, on a

V₁ = V₂         et          W₀ = (1/2) ( C₁₁+ 2 C₁₂ + C₂₂ ) V₂²
=  (1/2) ( C₂₂ - C₁₁ ) V₂²

Les armatures étant en influence totale,

C₁₁ = - C₁₂

La variation d'énergie au cours de la décharge du condensateur est

W = W₁ - W₀ = (1/2) ( C₁₁V₁² + 2 C₁₂V₁V₂ + C₁₁V₂² )
= (1/2) ( C₁₁V₁² - 2 C₁₁V₁V₂ + C₁₁V₂² ) = (1/2) C₁₁ ( V₁ - V₂ )²

Par définition, le coefficient C₁₁ s'identifie à C, la capacité du condensateur, d'où l'expression de l'énergie du condensateur:

où encore, en tenant compte de la relation:

Q = C ( V₁ - V₂ )

dans laquelle Q représente la charge de l'armature interne du condensateur,