2) CHANGEMENT DE BASE

2. 1 Produit matriciel

Convenons de noter a_i^j l'élément de la ième ligne et de la jème colonne de la matrice (a):

En utilisant la convention d'Einstein, l'élément (ab)_i^j de la matrice (ab) résultant du produit de deux matrices (a) et (b) est alors donné par:

(ab)_i^j = a_i^k b_k^j

Il faut noter que bien que le produit matriciel ne soit pas commutatif, l'ordre des termes a_i^k et b_k^j dans l'expression précédente ne modifie pas le résultat:

a_i^k b_k^j  = b_k^j a_i^k

2. 2 Matrice de changement de base

Dans un espace euclidien E de dimension n, considérons n vecteurs e_i (i = 1, 2, ..., n) et n vecteurs e'_j (j = 1, 2, ..., n) formant respectivement deux bases {e} et {e'}de E. Un changement de base dans E est caractérisé par sa matrice de changement de base. Si (a) est celle de la transformation de la base {e} en {e'}, elle est définie par la relation

e'_j = a_jⁱ e_i

Les vecteurs e'_j formant une base de E, ils sont linéairement indépendants. En conséquence, le déterminant de la matrice (a) est non nul et on peut déterminer sa matrice inverse (a^-1 ) telle que:

e_i = (a^-1 )_i^j e'_j

Si les bases {e} et {e'} sont orthonormées, les matrices (a) et (a^-1 ) sont unitaires. Dans ce cas on peut écrire:

e'_i. e'_j = d_ij = a_i^m a_jⁿ e_m. e_n = a_i^m a_jⁿ d_mn

En introduisant la matrice transposée (a^t ) de (a), définie par

(a^t )ⁱ_m = a_i^m

la relation précédente s'exprime par

(a^t )ⁱ_m a_j^m = dⁱ_j

Comme par définition

(a^-1 )ⁱ_m a_j^m = dⁱ_j

on a

(a^t )ⁱ_m = (a^-1 )ⁱ_m             (a^t ) = (a^-1 )

Si les bases {e} et {e'} sont orthonormées, les matrices inverse (a^-1 ) et transposée (a^t ) de la matrice de changement de base (a) sont identiques.

2. 3 Transformation des composantes contrevariantes

Soient deux bases {e} et {e'} de l'espace euclidien E, respectivement constituées de n vecteurs e_i (i = 1, 2, ..., n) et de n vecteurs e'_j (j = 1, 2, ..., n) et (a) la matrice de changement de base de {e} vers {e'}. D'après le paragraphe précédent, x étant un vecteur quelconque de E, de composantes contrevariantes xⁱ sur la base {e} et x'ⁱ sur la base {e'}, on peut écrire

x = xⁱ e_i = xⁱ (a^-1 )_i^j e'_j = x'^j e'_j      et      x = x'^j e'_j = x'^j a_jⁱ e_i = xⁱ e_i

d'où

x'^j = (a^-1 )_i^j xⁱ      et      xⁱ = a_jⁱ x'^j

Les composantes contrevariantes d'un vecteur x, quelconque de E, se transforment en sens inverse des vecteurs de base.

2. 4 Transformation des composantes covariantes

Comme au paragraphe précédent, considérons deux bases {e} et {e'} de l'espace euclidien E, respectivement constituées de n vecteurs e_i (i = 1, 2, ..., n) et de n vecteurs e'_j (j = 1, 2, ..., n), (a) la matrice de changement de base de {e} vers {e'} et  x  un vecteur quelconque de E, de composantes covariantes x_i sur la base {e} et x'_i sur la base {e'}. En On a

x'_j = x. e'_j = x. a_jⁱ e_i = a_jⁱ x. e_i = a_jⁱ x_i            
et      x_i = x. e_i = x. (a^-1 )_i^j e'_j = (a^-1 )_i^j x. e'_j  = (a^-1 )_i^j x'_j

d'où

x'_j = a_jⁱ x_i       et       x_i  = (a^-1 )_i^j x'_j

Les composantes covariantes d'un vecteur x, quelconque de E, se transforment comme les vecteurs de base.

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