1) Introduction

L'étude de la propagation du mode TEM dans les lignes coaxiales a conduit à introduire les notions de courant, de potentiel, d'impédance, de capacité et inductance linéiques, qui sont des grandeurs couramment employées en basses fréquences. La théorie des lignes vise à développer autour des ces grandeurs une méthode pratique d'étude des lignes supportant un mode TEM.

On supposera que la propagation se fait le long de l'axe Oz, dans le sens des z croissants, et une variation sinusoïdale du temps des différentes grandeurs:

E = E (x, y) e^i(wt-gz)                      H = H (x, y) e^i(wt-gz)

On appellera U la tension entre les deux conducteurs (entre l'âme et la gaine dans le cas d'une ligne coaxiale), et I le courant dans un conducteur.

       U(z) = Ue^-igz        U = V₁ - V₂
I(z) = Ie^-igz          Z_cI = U

Z_c est l' impédance caractéristique de la ligne et V₁ et V₂ les potentiels respectifs des conducteurs.

(cf. Impédance caractéristique)

Par dérivation des expressions de U(z) et I(z) on obtient:

Ces relations, établies en supposant une propagation dans le sens des z croissants est vérifiée aussi pour une propagation dans le sens des z décroissants. Dans les lignes de transmission il peut exister des réflexions, dues à des discontinuités. Le mode TEM propagé dans la ligne est alors décrit par la superposition d'une onde "aller" en e^-igz et d'une onde "retour" en e^igz et les tensions et les courants devront être pris de la forme plus générale Ae^-igz + B e^igz (A, B = cst).

2) Lignes sans pertes

On considère une ligne dont le matériau inter-conducteur est de permittivité diélectrique e et une perméabilité magnétique µ réelles, et que les conducteurs sont parfaits. Dans ces conditions la constante de propagation du mode TEM est

g = k = w (eµ)^1/2

(cf. Mode TEM )

En se rappelant que les inductance et capacité linéiques vérifient les relations,

LC = µe      et        Z_c = (L/C)^1/2

on peut donc écrire les relations précédentes sous la forme

Z_c étant l'impédance caractéristique de la ligne.

Une seconde dérivation nous conduit aux équations

Connues sous le nom d'équations des télégraphistes.

3) Lignes à faibles pertes

                Pertes diélectriques dans le matériau inter-conducteur

Dans le cas d'une ligne sans pertes, la capacité linéique correspond à une admittance

Y = iwC = iwe Z/Z_c = iwe C₀
C₀ = Z/Z_c= (µC/eL)^1/2

(cf. Impédance caractéristique)

Les pertes dans le matériau entre les conducteurs se traduisent par le caractère complexe de sa permittivité diélectrique et éventuellement de la perméabilité magnétique.

e = e' - ie"           µ = µ ' - iµ''

Si l'âme et la gaine sont constituées d'un métal infiniment conducteur, cette forme complexe des permittivité et perméabilité ne remet pas en question le mode TEM, puisque la résolution des équations de Maxwell se fait de façon similaire. On peut donc penser que l'expression de l'admittance par unité de longueur s'exprime de la même façon par

Y = iwe C₀ = iw(e' - ie'') C₀ = iwe' C₀ + we'' C₀
= iwC + G        avec     C = e' C₀    et      G = we'' C₀

Y est donc la somme d'une partie imaginaire positive (capacité), et d'une partie réelle G (conductance).

L'impédance caractéristique pour une ligne dont les conducteurs sont parfaits et présentant des pertes diélectriques est donc

Z_c = [ iwL / Y ]^1/2 = [ iwL / (iwC + G) ]^1/2

                Pertes électriques dans les conducteurs

L'étude de la propagation et de la réflexion sur les conducteurs n'a pas été étudiée (pour le moment). Nous nous contenterons donc de quelques remarques qualitatives.

Lorsque la conductivité est finie, de la puissance est absorbée par les conducteurs, et par suite on a une composante du vecteur Pointing dirigée vers l'intérieur de ce dernier. Ceci implique au moins une composante longitudinale du champ électrique. En général il existe aussi une composante longitudinale du champ magnétique. Le mode propagé n'est donc plus dans ce cas   rigoureusement TEM, mais la perturbation est généralement faible. En première approximation on peut négliger ces composantes longitudinales des champs. Dans ces conditions, pour tenir compte des pertes électriques dans les conducteurs on introduit une résistance R en série avec l'inductance linéique.

L'impédance caractéristique de la ligne prenant en compte les deux types de pertes s'écrit alors:

Z_c = [(iwL + R) / (iwC + G)]^1/2

et les équations reliant la tension au courant deviennent

L'équation des télégraphistes pour le courant et la tension s'écrivant quant à elle

En posant R = G = 0 on retrouve bien évidemment le cas de la ligne sans pertes.

4) Tension et courant

Des équations précédentes on déduit la forme générale de la tension,

U(z) = Ae^-igz + Be^igz

A et B sont des constantes complexes et g est égale à

g² = LCw²                                  pour une ligne sans pertes
g² = - (R + iLw)(G + iCw)               pour une ligne à faibles pertes

L'équation des télégraphistes étant similaire pour le courant, on peut écrire la solution sous la même forme mais il est souvent préférable de l'écrire en fonction de la tension, soit:

           - dans le cas d'une ligne sans pertes

- iLw I(z) = dU(z)/dz = - ig [Ae^-igz - Be^igz]

I(z) = [Ae^-igz - Be^igz] / Z_c      avec        Z_c = (L/C)^1/2

           - dans le cas d'une ligne à faibles pertes

- (iLw + R) I(z) = dU(z)/dz = - ig [Ae^-igz - Be^igz]

I(z) = [Ae^-igz - Be^igz] / Z_c       avec        Z_c = [(iwL + R) / (iwC + G)]^1/2