1) Composante longitudinale du champ électrique

Par définition des modes TM, H_z = 0. D'après l'étude générale, le système à résoudre pour déterminer les modes TM possibles est:

D_tE_z + k_c²E_z = 0                 à l'intérieur du guide                        
 E_z = 0                              sur les parois ( condition de Dirichlet )

avec k_c² = k² - g²

Pour trouver les solutions, utilisons la méthode de séparation des variables en posant:

E_z(x, y) = X(x)Y(y)

En introduisant cette expression dans l'équation précédente puis en divisant par X(x)Y(y) elle devient:

X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) + k_c²X(x)Y(y) = 0

X''(x) et Y''(y) sont les dérivées secondes de X(x) et Y(y). Ou encore, en divisant l'équation par X(x)Y(y)

X(x) et Y(y) étant des fonctions de variables différentes, cela implique

[ X''(x) / X(x) ] = - a²                        [ Y''(y) / Y(y) ] = - b²

avec                   a² + b² = k_c²

Les solutions de ces équations sont de la forme

X(x) = A₁ cos ax + B₁ sin ax                      Y(y) = A₂ cos by + B₂ sin by

avec a² et b² positifs. L'hypothèse inverse ( a² et b² < 0 ) ne permettrait pas de satisfaire aux conditions aux limites.

La condition de Dirichlet sur les parois du guide impose de plus

E_z = 0

X(0) = X(a) = 0           et             Y(0) = Y(b) = 0

soit

A₁ = A₂ = 0            aa = np               bb = mp          ( m, n entiers positifs )

La composante longitudinale du champ électrique s'écrit par conséquent:

( E₀ = cst )

Le mode est noté TM_n,m.

2) Longueur d'onde de coupure et mode fondamental

Le mode TM_n,m ne peut se propager que pour des fréquences telles que

k > k_c

ou,

( k_c = 2p / l )                               

On appel mode fondamental celui qui correspond à la plus grande fréquence de coupure. Les cas m = 0 ou n = 0 sont à rejeter puisque dans ce cas E_z est nul et comme on a

H_t ( k² - g² ) = iwe grad E_z x e_z - ig grad H_z
E_t ( k² - g² ) = - iw µ grad H_z x e_z - ig grad E_z

(cf. Etude générale )

cela implique aussi

E_t = H_t = 0

Le mode TM_n,m fondamental est donc TE_1,1.