1) Introduction

Considérons un guide d'onde métallique, d'axe directeur Oz, dont les parois sont constituées d'un métal infiniment conducteur et rempli d'un matériau linéaire homogène et isotrope caractérisé par sa permittivité diélectrique e et sa perméabilité magnétique µ. On s'intéressera dans cette partie au cas des guides sans pertes ( e et µ réels ) et aux ondes ayant une dépendance sinusoïdale du temps, c'est à dire de la forme

X = X(r) e^iwt

Dans la suite on ne fera pas pas apparaître explicitement la dépendance temporelle en e^iwt. Le problème a résoudre est de trouver des ondes succeptibles de se propager selon Oz, c'est à dire des ondes dont les champs sont solutions de l'équation de Helmoltz  (cf. Espace libre ) et satisfont aux conditions aux limites.

2) Equations de propagation

En l'absence de charges et de courants, les champs électriques et magnétiques satisfont à l'équation de Helmholtz

DE + k² E = 0
DH + k² H = 0

avec   k. k = k² = w²eµ

Les ondes planes, qui sont solutions en espace libre, ne peuvent être retenues car elles ne vérifieront pas les conditions aux limites sur les parois du guide. Pour trouver des solutions satisfaisantes on peut séparer les parties transversale et longitudinale de l'opérateur D en posant:

avec D_t le Laplacien dans le plan transverse. Les équations de Helmholtz devient alors

Puis en séparant les parties transverse et longitudinale,

D_t E + ( k² - g ² ) E = 0                D_t H + ( k² - g² ) H = 0
                                       

Les champs électrique et magnétique solutions sont alors de la forme

E = E (x, y) e^-igz              H = H (x, y) e^-igz

g est la constante de propagation de l'onde.

3) Fréquence et longueur d'onde de coupure

Pour que les solutions précédentes correspondent à une propagation sans atténuation dans le guide il faut que la constante de propagation g soit réelle. En posant

k_c² = k² - g²

la propagation ne peut donc avoir lieu dans le guide que si

k² > k_c²

ou, si f et l sont respectivement la fréquence et la longeur d'onde dans le diélectrique,

f > f_c      <=>       l < l_c

avec

Si la constante de propagation g est imaginaire, le terme e^-igz traduit une décroissance exponentielle de l'amplitude des champs. L'onde est alors dite évanescente.

4) Equations de Maxwell et conditions aux limites

Si on reporte les champs ci dessus dans les équations de Maxwell, en l'absence de courants et de charges, on obtient

rot E = - iwµ H                 rot H = iwe E

rot [ E (x, y) e^-igz ] = e^-igz rot E (x, y) - ig e^-igz e_z x E (x, y) = - iwµ H (x, y) e^-igz
rot [ H (x, y) e^-igz ] = e^-igz rot H (x, y) - ig e^{-ig z} e_z x H (x, y) = iwe E (x, y) e^-igz

{ V fonction scalaire et A vecteur: rot ( VA ) = V rot A + grad V x A }

rot E (x, y) - ig e_z x E (x, y) = - iwµ H (x, y)
rot H (x, y) - ig e_z x H (x, y) = iwe E (x, y)

On décompose les vecteurs E (x, y) et H (x, y) en une composante longitudinale ( E_ze_z et H_ze_z ) parallèle à Oz et une composante transversale ( E_t et H_t ) perpendiculaire à Oz:

H (x, y) = H_t + H_ze_z                 E (x, y) = E_t + E_ze_z

(e_z: vecteur unitaire selon Oz). Les équations précédentes deviennent alors:

rot ( E_t + E_ze_z ) - ig e_z x ( E_t + E_ze_z ) = rot E_t + grad E_z x e_z - ig e_z x E_t = - iwµ ( H_t + H_ze_z )
rot ( H_t + H_ze_z ) - ig e_z x ( H_t + H_ze_z ) = rot H_t + grad H_z x e_z - ig e_z x H_t = iwe ( E_t + E_ze_z )

E_t et H_t étant indépendants de z, rot E_t et rot H_t sont selon Oz, en projetant successivement sur la direction de Oz et sur le plan Oxy, on obtient

rot E_t = - iwµ H_z                     grad E_z x e_z - ig e_z x E_t = - iwµ H_t   
rot H_t = iwe E_z                        grad H_z x e_z - ig e_z x H_t = iwe E_t      

En éliminant successivement H_t puis E_t de ces équations, on exprime les composantes transversales des champs en fonction de leurs composantes longitudinales.

H_t ( k² - g² ) = iwe grad E_z x e_z - ig grad H_z
E_t ( k² - g² ) = - iw µ grad H_z x e_z - ig grad E_z

On peut noter que pour une onde TEM, dont les composantes longitudinales des champs H_z et E_z sont nulle, g = k. On retrouvera ce résultat, par exemple, dans l'étude des lignes coaxiales.

Le métal constituant le guide étant supposé infiniment conducteur, la conservation de la composante tangentielle du champ électrique implique sur les parois du guide:

n x E = n x ( E_t + E_ze_z ) = 0

soit

E_z = 0                      n x E_t = 0

En exprimant E_t en fonction des composantes longitudinales E_z et H_z grace aux relations que nous venons d'établir, il apparait que

ig n x grad E_z + iw µ n x ( grad H_z x e_z ) = iwµ [ ( n . e_z ) grad H_z - ( n . grad H_z ) e_z ] = 0
iwµ ( n . grad H_z ) e_z = 0

{ A x ( A' x A'' ) = ( A . A'' ) A' - ( A . A' ) A'' }

E_z et H_z étant les composantes selon Oz de E et H, l'existence d'une solution de la forme

E = E (x, y) e^-igz                       H = H (x, y) e^-igz   

H (x, y) = H_t + H_ze_z                 E (x, y) = E_t + E_ze_z

suppose:

     -à l'intérieur du guide

D_tE_z + ( k² - g ² ) E_z = 0
D_tH_z + ( k² - g² ) H_z = 0
k_c² = k² - g²

     -sur les parois du guide

E_z = 0                                
( condition de Dirichlet )           ( condition de Neumann )

La recherche des solutions revient à la détermination des valeurs propres k_c pour lesquelles il existe une solution en E_z ou H_z vérifiant les conditions aux limites sur le conducteur. Ces valeurs propres forment une suite discrète, appelée spectre, et à chacune d'entre elles correspond un ensemble de fonctions propres ayant une structure d'espace vectoriel. En général, pour un même guide, les conditions de Dirichlet et Neumann conduisent à des spectres différents. Ils se séparent en deux catégories:

       - Les modes transverses magnétiques (TM) ou modes E, tels que ( H_z = 0, E_z ¹ 0 )
       - Les modes transverses électriques (TE) ou modes H, tels que ( E_z = 0, H_z ¹ 0 ).

La résolution analytique du problème est possible dans le cas de quelques sections droites de forme simple, comme par exemple le cas:

                - d'un guide rectangulaire  Mode TE, Mode TM
                - d'un guide circulaire Mode TE, Mode TM