1) Définition
                Lorsque les déformations sont petites, on admet que les contraintes sont des combinaisons linéaires des déformations. C'est la loi de Hooke, qui s'écrit:

ou

Le tenseur d'élasticité étant un tenseur d'ordre 4 comprenant 81 composantes non toutes distinctes. Il s'écrit:

avec

La symétrie des tenseurs de contrainte s^uv et e^ij d'une part et l'écriture des relations dans un repère orthonormé permet de réduire le nombre d'éléments à 21.

2) réduction par rotation du tenseur d'élasticité

Les symétries des cristaux permettent de réduire le tenseur d'élasticité. Voici quelques cas simples.

               a) Axe de symétrie C2 selon Ox1

Tous les coefficients ayant un nombre impair de fois l'indice 1 sont nuls.

                 b) Axe de symétrie C2 selon Ox2

Tous les coefficients ayant un nombre impair de fois l'indice 2 sont nuls.

                   c) Axe de symétrie C2 selon Ox3

Tous les coefficients ayant un nombre impair de fois l'indice 3 sont nuls.

                      d) Axe C4 selon Ox1

On a un C2 selon Ox1 et les indices 2 et 3 permutent.

                        f) Axe C4 selon ox2

On a un C2 selon Ox2 et les indices 1 et 3 permutent.

                         g) Axe C4 selon Ox3

On a un C2 selon Ox3 et les indices 1 et 2 permutent.

                          h) Axe C3 selon [ 1 1 1]

Les indices 1,2 et 3 permutent

                             i) Centre de symétrie

Un cente de symétrie ne permet pas de réduire le tenseur (C)

3) Tenseurs d'élasticité de quelques systèmes

                              a) Système monoclinique avec l'axe C2 selon Ox3

                              b) Système orthorombique avec les axes Ox1, Ox2, Ox3 parallèles aux arêtes de la maille cristalline

                                c) Système tétragonal avec l'axe C4 selon Ox3

    classes cristallines (C₄, S₄, C_4h)

classes cristallines (C_4v, D_2d, D₄, D_4h)

                               d) Système cubique avec les axes Ox1, Ox2, Ox3 parallèles aux arêtes de la maille cristalline

                                e) Système hexagonal avec l'axe C6 selon Ox3

                                  f) Solide isotrope