5) Le tenseur diélectrique [e] relie l'induction électrique D au champ électrique appliqué E:

D = [e] E          soit D_i = å e_ij E_j            i = 1,2,3;   j = 1,2,3

Pour un champ électrique de direction donnée, on mesure l'induction électrique D_E dans la même direction et la constante diélectrique | e | du cristal pour cette direction est telle que D_E = | e | E.

1) Exprimer | e | en fonction des coefficients e_ij du tenseur de permittivité. On caractérisera la direction de mesure par ses cosinus directeurs.
2) Application:

Calculer la permittivité dans la direction [321].

1) Permittivité

L'induction diélectrique D est liée au champ électrique E par la relation tensorielle:

D_i = e_ij E^j         où e_ijest la composante ij du tenseur de permittivité

soit donc les relations:

D₁ = e₁₁ E¹ + e ₁₂ E² + e ₁₃ E³
D₂ = e₂₁ E¹ + e₂₂ E² + e₂₃ E³
D₃ = e₃₁ E¹ + e₃₂ E² + e₃₃ E³

D_E est la projection de D sur la direction de E, on a donc:

soit en notation tensorielle

lⁱ et l^j sont les cosinus directeurs de E. On a donc

| e | = (1/|E|²)[ e₁₁ (E¹)² + e₂₂ (E²)² + e₃₃ (E³)² + (e₁₃ + e₃₁ )E¹E³ + (e₁₂ + e₂₁)E¹E²
                           + (e₂₃ + e ₃₂) ²E³]
= e₁₁ (l₁)² + e₂₂ (l₂)² + e₃₃ (l₃)² + (e₁₃ + e₃₁ )l₁l₃ + (e₁₂ + e₂₁) l₁l₂ + (e₂₃ + e₃₂) l₂l₃

Remarque: Les cosinus directeurs sont notés l_i (indice en bas) dans les expressions développées pour éviter les confusions avec les  puissances.

Dans le cas d'un cristal quadratique le tenseur de permittivité s'écrit:

donc dans la direction [321] on a

| e | = (1/|E|²)[ e₁₁ (E¹)² + e₂₂ (E²)² + e₃₃ (E³)²] = e ₁₁ (l₁)² + e₂₂ (l₂)² + e₃₃ (l₃)²
        = a [ (l₁)² + (l₂)² ] + b (l₃)² )]

la direction de la rangée [321] est donnée par le vecteur n = 3a + 2b + c, dont les cosinus directeurs sont:

d'où