1) Présentation

Pour l'étude des lignes de transmission, on utilise généralement la théorie des lignes, que nous développerons dans une prochaine rubrique. Pour ce faire on introduit les notions de courant, de potentiel ou encore d'impédance d'une ligne coaxiale.

Les conducteurs sont supposés parfaits, et l'espace entre ceux-ci est rempli d'un matériau linéaire, homogène et isotrope, de permittivité diélectrique e et perméabilité magnétique µ, réelles (ligne sans pertes). Les champs sont de la forme

E = E (x, y) e^i(wt-kz)                      H = H (x, y) e^i(wt-kz)

2) Potentiel et courant électriques

             Potentiels

Puisqu'en l'absence de charges et de courants dans le matériau entre les conducteurs, on a dans ce dernier (cf. Mode TEM )

rot E (x, y) = 0      et      div E (x, y) = 0

Le champ dérive donc d'un potentiel V(x, y) qui vérifie l'équation de Laplace dans ce matériau, soit

E (x, y) = - grad V(x, y)          D_tV(x, y) = 0

Le problème est similaire à celui rencontré en électrostatique.

             Courants

Pour ce qui est des courants, on associe à chaque point de la surface des conducteurs un courant superficiel de densité

J_s = n x H (x, y)

n étant le vecteur unitaire, orienté vers l'extérieur, selon la normale au conducteur.

Comme on a vu que

k e_z x E (x, y) = wµ H (x, y)     et     E (x, y) = - grad V(x, y)

cette densité de courant s'exprime par

J_s = (k/wµ) n x [e_z x E ] = (k/wµ) [n . E ] e_z
= - (k/wµ) [n . grad V]e_z = - (k/wµ) [dV/dn] e_z

{La dépendance en (x, y) n'apparait pas explicitement pour alléger les notations}

I₁, et I₂ étant respectivement les intensités des courants sur les conducteurs intérieur (C₁) et extérieur (C₂) de la ligne coaxiale,

il apparait que

où G est le volume délimité par C₁ et C₂. (Le signe positif est dû à l'orientation choisie pour la normale n). On a donc

I₁ = - I₂

3) Impédance caractéristique.

Si on appelle V₁ et V₂ respectivement les potentiels des conducteurs C₁ et C₂, on peut définir Z_c, l'impédance caractéristique de la ligne comme étant:

Z_c = (V₁ - V₂ ) / I₁ = (V₂ - V₁ ) / I₂

             Relation avec la capacité linéique

En poursuivant l'analogie avec l'électrostatique, on a les relations,

Dans lesquelles s et Q désignent respectivement  la densité superficielle de charge et la charge par unité de longueur sur le conducteur C₁ et C la capacité par unité de longueur (ou capacité linéique) de la ligne coaxiale. Z est l'impédance du milieu inter-conducteur (cf. Espace libre ).

             Relation avec l'inductance linéique

Si on considère la surface rectangulaire délimitée par les conducteurs C₁ et C₂ sur une longueur unité, et deux segments de droite reliant C₁ à C₂, caractérisée par son vecteur surface S = Se₂ (e₂ vecteur unitaire colinéaire à H (x, y) ).

L'inductance linéique L est liée au flux f de l'induction magnétique B (x, y) à travers cette surface par la relation

f = LI₁

I₁ étant l'intensité du courant dans l'âme C₁ de la ligne coaxiale.

Le flux de B (x, y) à travers une surface élémentaire ds = 1.dn e₂ (longueur unité) de S s'exprime par

df = B (x, y). ds = µ H (x, y). ds

En se rappelant que

k e_z x E (x, y) = wµ H (x, y)   et   E (x, y) = - grad V(x, y)

df = (k/w) e_z x E (x, y). ds = (k/w) ds x e_z. E (x, y)
= - (k/w) dn . grad V(x, y)

et en intégrant entre C₁ et C₂ on obtient

f = k (V₁ - V₂)/w

d'où

On retiendra à ce sujet le résultat suivant,

LC = µe    et donc        Z_c = (L/C)^1/2

Les résultats précédents concernent des lignes sans pertes. Dans les lignes réelles, le matériau entre les conducteurs et le métal constituant l'âme et la gaine de la ligne ne sont pas parfaits et sont à l'origine de pertes. Cet aspect est abordé dans la Théorie des lignes.