On considère une ligne coaxiale infinie, de section droite circulaire, d'axe Oz. Le rayon de l'âme (conducteur central C₁ ) est r₁ et celui de la gaine (conducteur extérieur C₂ ) r₂. Elles sont constituées d'un conducteur parfait et séparée par un diélectrique de permittivité absolue e, réelle (ligne sans pertes), et de perméabilité µ₀. Le mode propagé est TEM.

Etant donnée la géométrie du système on se place en coordonnées cylindriques (r, Q, z). De plus par raison de symétrie les champs sont indépendants de Q. On cherche des solutions sous la forme d'ondes TEM, qui ont localement une structure d'onde plane (cf. Mode TEM ), soit:

E = E(r) e^i(wt-kz)                      H = H(r) e^i(wt-kz)

1) Champs électrique et magnétique

              Champ électrique

Le champ électrique dans le matériau entre les conducteurs dérive d'un potentiel scalaire qui satisfait à l'équation de Laplace (cf. Impédance caractéristique).

E(r) = - grad V(r) = - dV(r)/dr e₁     et      D_tV(r)  = 0

(e₁: vecteur unitaire radial )

soit, en coordonnées cylindriques

En remarquant que l'équation est de la forme

U'(r) + U(r)/r = 0     avec U(r) = dV(r)/dr

les solutions sont:

V(r) = A ln(r) + B

Si on appelle V₁ et V₂ les potentiels respectifs des conducteurs C₁ et C₂, on a

V₁ = A ln(r₁ ) + B
V₂ = A ln(r₂ ) + B

d'où

A = (V₁-V₂ ) / ln(r₁/r₂ )             B = V₁ - A ln(r₁ )

d'où l'expression du champ électrique

              Champ magnétique

On peut retrouver le champ magnétique à partir de l'expression du champ électrique précédemment établie

H(r) = (k /wµ₀ ) e_z x E(r)
avec     k² = w²eµ₀

(cf. Mode TEM )

2) Impédance caractéristique

La densité de courant sur les conducteurs étant

J_s = n x H = - (k /wµ₀ ) [dV/dn]e_z

(cf. Impédance caractéristique)

le courant sur le conducteur C₁ est

L'impédance caractéristique de la ligne est donc

Z_c = (V₁ - V₂ ) / I₁ = (wµ₀/ 2pk) ln (r₂/r₁ )

3) Capacité et inductance linéiques

              Capacité linéique (1ère méthode)

La capacité linéique est la capacité du condensateur délimité par les conducteurs C₁ et C₂. Elle est donnée par

C = Q / (V₁ - V₂ )

où Q représente la charge par unité de longueur sur le conducteur central C₁. L'application du théorème de Gauss à un tronçon de ligne de longueur unité permet de déterminer l'intensité du champ électrique dans le matériau inter-conducteur:

E(r) = (Q/2per) e₁

On sait que

E(r) = - grad V(r)

d'où, en intégrant entre C₁ et C₂

V₁ - V₂ = (Q/ 2pe) ln(r₂/r₁)       et       C = 2pe / ln(r₂/r₁)

              Capacité linéique (2ème méthode)

Pour une longueur unité de ligne, l'énergie libre de l'espace entre C₁et C₂ est

La capacité linéique est liée à cette énergie par la relation

F = C (V₁ - V₂ )²/ 2 = Q²/ 2C

d'où

C = 2pe / ln(r₂/r₁)

              Inductance linéique (1ère méthode)

On considère la surface délimitée par les conducteurs C₁ et C₂, sur une longueur unité, et deux rayons de la ligne coaxiale, caractérisée par son vecteur surface S. L'inductance linéique est liée au flux f de B(r) à travers cette surface par la relation

f = LI₁

I₁ étant l'intensité du courant dans l'âme C₁ de la ligne coaxiale, le théorème d'Ampère permet de déterminer champ et l'induction magnétiques. On choisit un parcours circulaire dans le plan transverse, centré sur l'axe de la ligne.

C est un parcours fermé, B(r) et dl respectivement les vecteurs induction magnétique et déplacement élémentaire, et I la somme algébrique des courants qui coupent C. Dans le matériau entre les conducteurs C₁ et C₂, on a donc

         pour r₁ < r < r₂                B(r) = µ₀I₁/ 2pr                 H(r) = B(r)/µ₀ = I₁/ 2pr

avec                                B(r) = B(r) e₂                            H(r) = H(r) e₂

(e₂ vecteur unitaire colinéaire à H(r) )

Le flux à travers la surface élémentaire ds = dr e₂ (longueur unité) s'exprime par

df = B(r). ds = µ₀I₁dr / 2pr

Soit en intégrant entre C₁ et C₂

f = (µ₀I₁/ 2p ) ln(r₂/r₁)       et        L = (µ₀/2p ) ln(r₂/r₁)

              Inductance linéique (2ème méthode)

Pour une longueur de ligne unité, l'énergie libre du volume entre les conducteurs C₁ et C₂ est

L'inductance linéique étant liée à cette énergie par la relation:

F = (1/2)LI₁²

on en déduit

L = (µ₀/2p ) ln(r₂/r₁)

Remarque: On retrouve ici la relation

LC = µ₀e    et donc        Z_c = (L/C)^1/2

L'étude est faite dans le cas d'une perméabilité µ₀, qui est le plus fréquent. Les résultats pour un matériau sans pertes de perméabilité magnétique réelle µ sont obtenus par substitution (µ au lieu de µ₀) dans les équations précédentes.