2) RELATIONS UTILES

On peut rappeler, sans les démontrer, quelques relations vectorielles utiles en électromagnétisme. Considérons pour cela:
        - les nombres complexes a et b,
        - les fonctions scalaires U(M) et V(M),
        - les fonctions vectorielles A(M) et B(M).

2. 1 Relations différentielles

grad [aU(M) + bV(M)] = a grad U(M) + b grad V(M)
grad [U(M)V(M)] = U(M) grad V(M) + V(M) grad U(M)

grad [A(M). B(M)] = [A(M). grad]B(M) + [B(M). grad]A(M)
+ A(M) x rot B(M) + B(M) x rot A(M)

div [aA(M) + bB(M)] = a div A(M) + b div B(M)
div [U(M)A(M)] = U(M) div A(M) + A(M). grad U(M)
div [A(M) x B(M)] = B(M). rot A(M) - A(M). rot B(M)

rot [aA(M) + bB(M)] = a rot A(M) + b rot B(M)
rot [U(M)A(M)] = U(M) rot A(M) + grad U(M) x A(M)
rot [rot A(M)] = grad [div A(M)] - DA(M)

rot [A(M) x B(M)] = A(M) div B(M) - B(M) div A(M)
+ [B(M). grad]A(M) - [A(M). grad]B(M)

rot [grad U(M)] = 0
div [rot A(M)] = 0
div [grad U(M)] = DU(M)

D[U(M)V(M)] = U(M)DV(M) + 2[grad U(M). grad V(M)] + V(M)DU(M)

2. 2 Opérateur nabla

On introduit souvent pour réduire les expressions et faciliter les calculs l'opérateur vectoriel nabla, représenté par le symbole Ñ. Ses composantes dans les principaux systèmes de coordonnées seront précisées plus tard. Cet opérateur vérifie les propriétés suivantes:

Il est alors possible d'écrire les relations précédentes sous la forme:

2. 3 Produits vectoriels

On peut aussi rappeler quelques relations concernant les produits scalaire et vectoriels. Soient donc les vecteurs A, B, C et D.

A x (B x C) = (A . C)B - (A . B)C
A x (B x C) + B x (C x A) + C x (A x B) = 0
(A x B) . (C x D) = (A . C)(B . D) - (A . D)(B . C)
A . (B x C) = C

(A x B) x (C x D) = [(A x B) . D]C - [(A x B) . C]D
= [(C x D) . A]B - [(C x D) . B]A

(A, B, C) = A . (B x C) = (A x B) . C - (A x C) . B
(A, B, C) = (C, A, B) = (B, C, A)
(A, B, C) = - (B, A, C)

2. 4 Champ de vecteurs dérivant d'un potentiel scalaire

Par définition, dans un domaine D de l'espace affine E, on dit que le champ de vecteurs A(M) dérive du potentiel scalaire U(M), si en tout point M de D, la relation

A(M) = - grad U(M)

est vérifiée.

Cette définition implique quelques propriétés particulières. dM étant le déplacement élémentaire du point M, la circulation élémentaire de ce vecteur s'écrit:

dC = A(M). dM = - grad U(M). dM = - dU

En intégrant dC entre les points M₁ et M₂, on obtient la circulation du vecteur A(M) sur le parcours M₁M₂, soit

C = U(M₁ ) - U(M₂ )

La circulation entre deux points d'un vecteur A(M) dérivant d'un potentiel scalaire est indépendante du parcours suivi.

D'après la relation précédente, la circulation sur un parcours fermé est nulle. Soit donc L un parcours fermé et une surface S s'appuyant sur L. Si en tout point d'un domaine D de l'espace affine E, A(M) dérive d'un potentiel scalaire, le théorème de Stokes implique donc nécessairement la propriété

rot A(M) = 0

Le rotationnel d'un champ de vecteurs A(M) dérivant d'un potentiel scalaire est nul.

2. 5 Champ de vecteurs dérivant d'un potentiel vecteur

Par définition, dans un domaine D de l'espace affine E, on dit que le champ de vecteurs A(M) dérive du potentiel vecteur V(M), si en tout point M de de D, la relation

A(M) = rot V(M)

est vérifiée.

Cette définition entraine quelques propriétés particulières. Considérons une surface S, quelconque, s'appuyant sur un parcours fermé L. Le théorème de Stokes montre que

dP est le déplacement élémentaire du point P sur L, dS l'élément de surface entourant le point M de S et n(M) le vecteur unitaire normal à S en M.

Il apparait donc que le flux d'un vecteur A(M), dérivant d'un potentiel vecteur, à travers une surface quelconque S s'appuyant sur un parcours fermé L, est égal à la circulation de son vecteur potentiel sur ce parcours fermé. Le flux de A(M) ne dépendant que de L, on pourra parler de flux de A(M) à travers le parcours fermé L sans préciser le choix de la surface S.

Si dans le domaine D, le vecteur A(M) dérive d'un potentiel vecteur, son flux à travers une surface S ne dépend donc que du parcours L sur lequel elle s'appuie. Faire décroître L vers zéro revient à faire tendre S vers une surface fermée. Par passage à la limite on voit donc que, si un champ de vecteurs dérive d'un potentiel vecteur, son flux à travers une surface fermée quelconque est nul.

En appliquant le théorème d'Ostrogradski, quelque soit la surface fermée S, telle que le volume V qu'elle délimite soit inclus dans le domaine D, en tout point M de D on peut écrire,

<=>       div A(M) = 0.

On dit alors que A(M) est à flux conservatif. On retiendra que cette relation est une condition nécessaire et suffisante pour que le champ de vecteurs A(M) dérive d'un potentiel vecteur.

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