3) REFLEXION ET TRANSMISSION

3. 1 Réflexion et transmission à l'interface entre deux milieux

Considérons l'espace, constitué de deux milieux diélectriques, de permittivités respectives e₁et e₂ et de perméabilité µ₀, séparés par le plan z = 0 (milieu 1: z < 0, milieu 2: z > 0). On se propose d'étudier le comportement d'une onde plane TEM, atteignant la discontinuité sous incidence normale (propagation parallèle à l'axe Oz). On admet que les ondes incidentes, réfléchies et transmises, de vecteurs d'onde respectifs k₁, -k₁ et k₂, sont planes, monochromatiques et de même fréquence.

k₁ = k₁u         k₂ = k₂u         (u vecteur unitaire selon Oz)
k₁² = w²e₁µ₀              k₂² = w²e₂µ₀

Notons donc

E_i = E_0i e^{i(wt - k}1^z)     E_r = E_0r e^{i(wt + k}1^z)        E_t = E_0t e^{i(wt - k}2^z)

respectivement les champs électriques incident, réfléchi et transmis.

Les champs magnétiques correspondants sont

H_i = H_0i e^{i(wt - k}1^z) = ( k₁/wµ₀ ) u x E_i = u x E_i / Z₁      
H_r = H_0r e^{i(wt + k}1^z) = - ( k₁/wµ₀ ) u x E_r = - u x E_r / Z₁
H_t = H_0t e^{i(wt - k}2^z) = ( k₂/wµ₀ ) u x E_t = u x E_t / Z₂     

avec Z₁ = wµ₀ / k₁   et    Z₂ = wµ₀ / k₂

Z₁ et Z₂ sont les impédances des milieux 1 et 2 (cf. Structure de l'onde plane).

Dans le vide l'onde électromagnétique est TEM (cf. Structure de l'onde plane), les champs électrique et magnétique des différentes ondes sont perpendiculaires à la direction de propagation Oz, et donc parallèles à la surface séparant les milieux 1 et 2. En l'absence de courants surfaciques à l'interface entre les deux milieux (z = 0), la continuité des composantes transversales des champs électrique et magnétique conduit aux relations:

E_0i + E_0r = E_0t
H_0i + H_0r = H_0t

D'après les relations précédentes entre les champs électriques et magnétiques, la seconde relation de continuité en z = 0 peut aussi s'écrire

( k₁/wµ₀ ) u x ( E_0i - E_0r ) = ( k₂/wµ₀ ) u x E_0t
ou   ( 1/Z₁ ) u x ( E_0i - E_0r ) = ( 1/Z₂ ) u x E_0t

Le coefficient de réflexion R₁ est défini comme le rapport de l'amplitude de l'onde réfléchie sur celle de l'onde incidente, et le coefficient de transmission T₁₂ comme celui de l'amplitude de l'onde transmise sur celle de l'onde incidente, soit sur l'interface

E_0r = R₁ E_0i              E_0t = T₁₂ E_0i       en z = 0

En introduisant ces nouvelles expressions de E_0r et E_0t dans les relations précédentes, après simplifications on en déduit

1 + R₁ = T₁₂
         k₁ ( 1 - R₁ ) = k₂T₁₂     ou     ( 1 - R₁ ) / Z₁ = T₁₂ / Z₂

Soit

R₁ = ( k₁ - k₂ ) / ( k₁ + k₂ )          T₁₂ = 2k₁ / ( k₁ + k₂ )

ou en termes d'impédances

R₁ = ( Z₂ - Z₁ ) / ( Z₁ + Z₂ )          T₁₂ = 2Z₂ / ( Z₁ + Z₂ )

Remarques:

Dans le cas de deux milieux sans pertes les constantes de propagation k₁ et k₂ sont des réels positifs.
     -T₁₂ est positif: la transmission se fait sans changement de phase;
     - Si k₁ < k₂ ( Z₁ > Z₂ ): R₁ < 0, la réflexion provoque un changement de phase de p;
     - Si k₁ > k₂ ( Z₁ < Z₂ ): R₁ > 0, la réflexion n'introduit pas de changement de phase.

Si l'un au moins des deux milieux est absorbant, k₁ et k₂ sont complexes (cf. Cas d'un milieu absorbant). La réflexion et la transmission modifient l'amplitude et la phase de l'onde.

De manière similaire, pour une onde incidente se propageant du milieu 2 vers le milieu 1, on obtiendrait les coefficients de réflexion R₂ et de transmission T₂₁

1 + R₂ = T₂₁    
R₂ = ( Z₁ - Z₂ ) / ( Z₁ + Z₂ ) = - R₁          T₂₁ = 2Z₁ / ( Z₁ + Z₂ )

Enfin, il est facile de voir, à partir de l'expression de R₁, que l'impédance du milieu 2 peut s'écrire

Z₂ = Z₁ ( 1 + R₁ ) / ( 1 - R₁)

3. 2 Impédance d'entrée dans un plan quelconque

Si on se place, dans le milieu 1, à une distance d de l'interface (abcisse z = -d ), le rapport des amplitudes de l'onde réfléchie sur l'onde incidente est

R₁(-d) = | E_0r | e^-ik1^d / | E_0i | e^ik1^d = R₁e^-2ik1^d

On peut alors définir l'impédance d'entrée dans le plan ( z = -d ) par

Z(-d) = Z₁ [1 + R₁(-d)] / [1 - R₁(-d)] = Z₁ [1 + R₁e^-2ik1^d ] / [1 - R₁e^-2ik1^d ]

en remplaçant R₁ par

R₁ = ( Z₂ - Z₁ ) / ( Z₁ + Z₂ )

et après simplifications, on obtient

Z(-d) = Z₁ [Z₂ + i Z₁tan (k₁d)] / [Z₁ + i Z₂tan (k₁d)]

Cette notion d'impédance d'entrée peut s'avérer utile dans l'analyse des problèmes de propagation, et constitue une base pour l'analogie formelle entre la théorie des ondes guidées et la théorie des lignes de transmission. En effet, cette impédance se transforme comme l'impédance ramenée (cf. Impédance ramenée).

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