1) RELATIONS FONDAMENTALES (suite)

1. 8 Propriétés du champ et de l'induction électriques à la limite entre deux milieux

Soient M, un point de la surface S séparant l'espace en deux parties E₁ et E₂, le vecteur n unitaire normal à S, orienté de E₁ vers E₂, deux points M₁ et M₂, respectivement de E₁ et E₂, voisins de M et situés sur la droite de vecteur directeur n passant par M. Supposons qu'il existe respectivement dans E₁ et E₂ les densités volumiques de charges r(M₁, t) et r(M₂, t), et sur la surface S une densité surfacique de charges s(M, t). Enfin, E(M_i, t) étant le champ électrique en M_i à l'instant t.
Désignons par E₁(M, t) et E₂(M, t), les valeurs limites respectives de E(M₁, t ) lorsque M₁ tend vers M, et de E(M₂, t) lorsque M₂ tend vers M.

            a) Composante normale de l'induction électrique

Le théorème de Gauss, appliqué au cylindre délimité par les disques de centres M₁ et M₂, de surface dS (caractérisée par son vecteur surface dS = dSn), de hauteur 2h et dont les génératrices sont parallèles à n (figure ci-dessus), nous enseigne que le flux sortant de la surface fermée ainsi définie est égal à la somme algébrique des charges qu'elle contient, soit

E(M₂, t) . dS - E(M₁, t) . dS + df_t = [ r(M₁, t)hdS + r(M₂, t)hdS + s(M, t)dS ] /e₀

où df_t est le flux du champ électrique à travers la paroi latérale du cylindre. Si on fait tendre M₁ et M₂ vers M, h et df_t tendent vers zéro. Après simplification par dS il reste

[E₂(M, t) - E₁(M, t)] . n = s(M, t) /e₀

ou, en introduisant l'induction électrique, D_i(M, t) = e₀E_i(M, t)

[D₂(M, t) - D₁(M, t)] . n = s(M, t)

D_ni(M, t) = D_i(M, t). n étant la composante de l'induction normale à S, la relation peut aussi s'écrire

D_n2(M, t) - D_n1(M, t) = s(M, t)

A la limite entre deux domaines, la composante normale de l'induction électrique présente une discontinuité égale à la densité surfacique de charges existant sur cette limite.

            b) Composante tangentielle du champ électrique

Considérons maintenant un parcours rectangulaire orienté L (ABCD), passant par les points M₁ et M₂, tel que les segments AB et CD soient parallèles à la surface de séparation S entre les domaines E₁ et E₂ de l'espace, et les segments BC et DA perpendiculaires à S (figure ci-dessus). La circulation du champ électrique E (M, t) le long de ce parcours s'écrit:

C = E(M₂, t) . AB + E(M₁, t) . CD + dC_t
= [E(M₂, t) - E(M₁, t)] . AB + dC_t

où dC_t la circulation sur les segments BC et DA. D'après le théorème de Stokes, et la deuxième équation de Maxwell, cette circulation s'écrit aussi

où dl est le déplacement élémentaire du point P sur L, S est une surface s'appuyant L, dS la surface élémentaire entourant le point M et t(M) le vecteur unitaire normal à S en M.

Lorsqu'on fait tendre M₁ et M₂ vers M, dC_t tend vers zéro, ainsi que la surface S. B(M, t) étant une fonction bornée, la limite de l'intégrale au second membre de l'équation ci-dessus, et donc aussi de la circulation C, est nulle.

Sur la surface de séparation S entre les domaines E₁ et E₂ on a

[E₂(M, t) - E₁(M, t)] . AB = 0

En se rappelant que AB est parallèle à S et en introduisant le vecteur unitaire n, normal à S au point M, la relation peut s'écrire

[E₂(M, t) - E₁(M, t)] x n = 0

E_ti(M, t) = E_i(M, t) x n étant la composante du champ électrique tangente à S, la relation peut aussi s'énoncer par

E_t1(M, t) = E_t2(M, t)

A la limite entre deux domaines, la composante tangentielle du champ électrique est continue.

1. 9 Propriétés du champ et de l'induction magnétiques à la limite entre deux milieux

Comme au paragraphe précédent, considérons un point M de la surface S séparant l'espace en deux parties E₁ et E₂, le vecteur n unitaire normal à S, orienté de E₁ vers E₂, deux points M₁ et M₂, respectivement de E₁ et E₂, voisins de M et situés sur la droite de vecteur directeur n passant par M. Supposons qu'il existe respectivement dans E₁ et E₂ les densités volumiques de courants j(M₁, t) et j(M₂, t), et sur la surface S une densité surfacique de courant k(M, t). Enfin, B(M_i, t) étant le champ électrique en M_i à l'instant t.
Désignons par B₁(M, t) et B₂(M, t), les valeurs limites respectives de B(M₁, t ) lorsque M₁ tend vers M, et de B(M₂, t) lorsque M₂ tend vers M.

            a) Composante normale de l'induction magnétique

La première équation de Maxwell nous apprend que l'induction magnétique B(M,t) dérive d'un potentiel vecteur et que donc

div B(M, t) = 0

Considérons le cylindre délimité par les disques de centres M₁ et M₂, de surface dS (caractérisée par son vecteur surface dS = dSn), de hauteur 2h et dont les génératrices sont parallèles à n (figure ci-dessus). En intégrant la relation précédente sur le volume V délimité par ce cyclindre et en appliquant le théorème d'Ostrogradski on obtient

S est la surface du cylindre et n(M) le vecteur unitaire normal à S. On peut expliciter la relation intégrale précédente de la manière suivante:

B(M₂, t). dS - B(M₁, t) . dS + df_t = 0

où df_t est la flux du champ magnétique à travers la paroi latérale du cylindre. Si on fait tendre M₁ et M₂ vers M, h et df_t tendent vers zéro. Après simplification par dS il reste

[B₂(M, t) - B₁(M, t)] . n = 0

La composante normale de l'induction magnétique est continue à la traversée de la surface séparant les deux domaines.

            b) Composante tangentielle du champ magnétique

Considérons maintenant un parcours rectangulaire orienté L (ABCD), passant par les points M₁ et M₂, tel que les segments AB et CD soient parallèles à la surface de séparation S entre les domaines E₁ et E₂ de l'espace, et les segments BC et DA perpendiculaires à S (figure ci-dessus). La circulation du champ électrique B(M, t) le long de ce parcours s'écrit:

C = B(M₂, t). AB + B(M₁, t) . CD + dC_t
= [B(M₂, t) - B(M₁, t)] . AB + dC_t

où dC_t la circulation sur les segments BC et DA. D'après le théorème de Stokes, et la quatrième équation de Maxwell, cette circulation s'écrit aussi

où dl est le déplacement du point P sur L, S est une surface s'appuyant L, dS la surface élémentaire entourant le point M et t(M) le vecteur unitaire normal à S en M.

Lorsqu'on fait tendre M₁ et M₂ vers M, dC_t tend vers zéro, ainsi que la surface S. Au second membre de l'équation, la première intégrale qui représente le flux du courant de densité j(M, t) à travers S, tend alors vers k(M, t). n x AB, où n est le vecteur unitaire normal à S au point M. La fonction E(M, t) étant une fonction bornée, la limite de la deuxième intégrale de l'équation ci-dessus est nulle.

Sur la surface de séparation S entre les domaines E₁ et E₂ on a

[B₂(M, t) - B₁(M, t)] . AB = m₀k(M, t) . n x AB
= m₀AB . k(M, t) x n

AB est parallèle à S, d'où en simplifiant par ||AB||, la relation

[B_t2(M, t) - B_t1(M, t)] = m₀k(M, t) x n

où B_ti(M, t) est la composante de l'induction magnétique tangente à S. Cette relation peut encore s'écrire:

n x [B₂(M, t) - B₁(M, t)] = m₀k(M, t)

ou, en introduisant le champ magnétique H_i(M, t) tel que, B_i(M, t) = m₀H_i(M, t)

[H_t2(M, t) - H_t1(M, t)] = k(M, t) x n
n x [H₂(M, t) - H₁(M, t)] = k(M, t)

H_ti(M, t) étant la composante du champ magnétique tangente à S

A la limite entre deux domaines, la composante tangentielle du champ magnétique est discontinue.

Suite - Champ électromagnétique indépendant du temps ==>