1) RELATIONS FONDAMENTALES

1. 1 Introduction

On appelle champ électromagnétique le couple (E, B), constitué des vecteurs champ électrique et induction magnétique. La force s'exerçant sur une particule de charge q se déplaçant à la vitesse v dans un champ électromagnétique (E, B) est:

F = q (E + v x B)

On montre que la formule de changement de référentiel de Lorentz est généralisée aux champs variables pour

B(M, t) = rot A(M, t)

A(M, t) étant le potentiel vecteur et V(M, t) le potentiel scalaire au point M à l'instant t. On admettra donc que ces expressions définissent le champ électromagnétique. A noter, que si au point M à l'instant t les champs E(M, t) et B(M, t) sont définis de manière unique, il n'en est pas de même pour les potentiels A(M, t) et V(M, t).

Remarque: On désigne parfois par vecteur champ magnétique, le vecteur induction magnétique B(M, t). Pour plus de précision sur ce sujet on peut se reporter au paragraphe 1. 3 de cette page.

1. 2 Equations de Maxwell dans le vide.

Les définitions précédentes du champ électromagnétique induisent les équations fondamentales de l'électromagnétisme que sont les équations de Maxwell.

            a) 1ère équation

Le champ magnétique B(M, t) dérivant, par définition, d'un potentiel vecteur,

B(M, t) = rot A(M, t),

il est à flux conservatif et on a

div B(M, t) = 0

(cf. Analyse vectorielle > Champ dérivant d'un potentiel vecteur)

Cette relation constitue la première équation de Maxwell.

            b) 2ème équation

Reprenons la définition du champ électrique,

en prenant le rotationnel des deux membres, et en se rappelant que

rot [grad V(M, t)] = 0

il apparaît que

On obtient ainsi l'expression de la deuxième équation de Maxwell.

            c) 3ème et 4ème équations

Notons r (M, t) et j(M, t) respectivement la densité volumique de charges et le vecteur courant, au point M à l'instant t. La densité volumique de charges est une fonction scalaire telle que la charge contenue dans le volume élémentaire dt entourant le point M soit

dq = r(M, t) dt

Ces charges étant généralement mobiles, si on note v(M, t) le vecteur vitesse des charges se trouvant en M à l'instant t, par définition, le vecteur courant en M est

j(M, t) = r(M, t) v(M, t)

Postulons les deux autres équations de Maxwell en écrivant:

div e₀E(M, t) = r(M, t)

où e₀ = 1/ 36p10⁹ et m₀ = 4p10^-7 sont respectivement la permittivité diélectrique et la perméabilité magnétique du vide.

1. 3 Induction électrique et champ magnétique.

On introduit souvent les vecteurs D(M, t) et H(M, t), telles que

D(M, t) = e₀E(M, t)
B(M, t) = m₀H(M, t)

D(M, t) est le vecteur induction électrique (ou déplacement électrique) et H(M, t) le vecteur champ magnétique (ou excitation magnétique). Ces deux grandeurs permettent d'étendre les équations de Maxwell aux milieux matériels.
(cf. Diélectriques).

Les deux dernières équations de Maxwell s'écrivent alors:

div D(M, t) = r(M, t)

Remarque: H(M, t) est appelé champ magnétique lorsqu'on désigne par induction magnétique le vecteur B(M, t) et H(M, t) est appelé excitation magnétique lorsqu'on désigne par champ magnétique le vecteur B(M, t).

1. 4 Théorème de Gauss

Soit V un volume limité par une surface fermée S et contenant le point M, et E(M,t) le champ électrique en M à l'instant t. L'intégration de la troisième équation de Maxwell sur le volume V s'écrit

où Q(t) représente la charge contenue dans V. En appliquant le théorème d'Ostrogradski, la relation devient

Au point P de S, n(P) est le vecteur unitaire selon la normale à S, orienté vers l'extérieur de V. Cette relation, qui est la forme intégrale de la troisième relation de Maxwell, est connue sous le nom de théorème de Gauss.

1. 5 Théorème de d'Ampère

Considérons une surface S s'appuyant sur le parcours fermé orienté L. dl étant le déplacement élémentaire du point P sur L et n(M) le vecteur unitaire normal à S en tout point M de S, orientons n(M) de telle sorte que dl et n(M) constitue une orientation directe de l'espace. Compte tenu du théorème de Stokes, en intégrant sur S la quatrième équation de Maxwell, on obtient

Le terme

est par définition l'intensité i du courant à travers la surface S. Pour un régime indépendant du temps la relation précédente s'écrit

Cette relation est appelée théorème d'Ampère.

1. 6 Conservation de la charge électrique

Appliquons l'opérateur divergence de la dernière équation de Maxwell,

On peut permuter la dérivation temporelle et l'opérateur divergence. En tenant compte de la troisième équation de Maxwell

div e₀E(M, t) = r(M, t)

et se rappelant que

div [rot B(M)] = 0

(cf. Analyse Vectorielle > Relations différentielles), la relation devient

Cette relation exprime la conservation de la charge électrique.

Sa signification est plus évidente sous sa forme intégrale. En effet, considérons un volume V entourant le point M, délimité par la surface fermée S et P un point de S. En intégrant la relation précédente sur V et en appliquant le théorème d'Ostrogradski, il apparait que le premier terme représente le courant traversant la surface S.

(n(P) le vecteur normal unitaire à S au point P, orienté vers l'extérieur de V)

Le second, quant à lui représente la variation en fonction du temps, de la charge totale Q(t), contenue dans le volume V.

La relation exprime donc l'égalité entre le courant sortant (ou entrant) de V et la variation de charges électrique dans ce dernier.

1. 7 Equation de Poisson - Equation de Laplace.

Lorsque le champ électrique E(M, t) dérive d'un potentiel scalaire V(M, t),

E(M, t) = - grad V(M, t)

on peut écrire

div E(M, t) = div [- grad V(M, t)] = - DV(M, t)

La troisième équation de Maxwell nous conduit alors à

DV(M, t) = - r(M, t) /e₀

où r(M, t) est la densité volumique de charges au point M. Il s'agit de l'équation de Poisson. En un point M où la densité volumique de charges est nulle elle se simplifie en l'équation de Laplace.

DV(M, t) = 0

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