2) On désire étudier la propagation d'ondes planes progressives dans la direction [11-1] d'un cristal de NaCl.

1) Etablir les expressions des composantes du tenseur de propagation G _ui = C_uvij n_v n_j en fonction de:
                                                     C' = (C₁₁₁₁ + 2C₂₃₂₃) et C'' = (C₁₁₂₂ + C₂₃₂₃)

2) Rechercher les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice représentative de ce tenseur et en déduire la polarisation et la vitesse de propagation des différentes ondes pouvant se propager dans ce cristal selon la direction [111].

AN: r = 2,165.10³kg/m³; C₁₁₁₁ = 4,86.10¹⁰Pa; C₁₁₂₂ = 1,27.10¹⁰Pa; C₂₃₂₃ = 1,28.10¹⁰Pa

1) La relation fondamentale de la dynamique nous donne:

      (1)

où f est la densité de force et r la masse volumique du matériau. On cherche des solutions sous forme d'ondes planes, soit:

étant respectivement le vecteur unitaire selon la direction du vecteur de propagation et le vecteur position.
En substituant dans la relation (1) on obtient:

   (2)

On appelle tenseur de propagation le terme:                          (3)

La relation de propagation dans le cristal s'écrivant alors:

        (4)

La propagation s'effectue selon la direction [111], d'où
                         

On en déduit la forme du tenseur de propagation à partir de (3)

2)La détermination des polarisations et vitesses de propagations correspondantes revient à la détermination des valeurs propres (l = rv²) et des vecteurs propres (s )de la matrice représentative du tenseur de propagation.
Soit donc à résoudre le système:

          (5)

qui admet des solutions non triviales si on a

d'où les valeurs propres:
                          l₁ = l₂ = C' - C''          et    l₃ = C' + 2C''

1^er cas l₁ = l₂ = C' - C''
                               rv² = C' - C''           

    A.N.: v = 4742ms^-1

Les vecteurs propres sont obtenus en remplacantl par sa valeur dans l'équation (5) d'où on tire:

L'onde est donc polarisée selon la direction [1 -1 0], perpendiculaire à la direction de propagation [111]. Il s'agit donc d'une onde transversale.

2^eme cas l₃ = C'+2 C"
                               rv² = C'+2 C''           

     A.N.: v = 4390ms^-1

Les vecteurs propres sont obtenus en remplacant l par sa valeur dans l'équation (5) d'où on tire:

L'onde est donc polarisée selon la direction [111], parallèlement à la direction de propagation [111]. Il s'agit donc d'une onde longitudinale.