1) Dans un cristal homogène indéfini de densité volumique r, on considère un cube élémentaire Dx₁Dx₂Dx₃. Parallèlement à l'axe Ox₁, on exerce sur les faces Dx₂D x₃ des contraintes normales -s₁₁ (face d'abscisse x₁) et s ₁₁ + Ds₁₁ (face d'abscisse x₁ + Dx₁),
ainsi que des contraintes de cisaillement -s ₂₁ et s ₂₁ + Ds ₂₁ selon l'axe Ox₂ et -s₃₁ et s₃₁ + Ds₃₁ selon Ox₃.

De même sur les faces Dx₃Dx₁, on exerce des contraintes:

- s₂₂ et s₂₂ + Ds₂₂
- s₂₁ et s₂₁ + Ds_21
- s₂₃ et s₂₃ + Ds ₂₃

et sur les faces Dx₁Dx₂, des contraintes:

- s ₃₃ et s ₃₃ + Ds ₃₃
- s₃₁ et s₃₁ + Ds₃₁
- s ₂₃ et s ₂₃ + Ds ₂₃

1) Ecrire les composantes de la force résultante R s'appliquant sur le cube élémentaire.
2) Ecrire les équations différentielles reliant les composantes du déplacement s du cube élémentaire aux contraintes appliquées.
3) Exprimer ces équations en fonction des coefficients d’élasticité C_ijkl du cristal.
4) On cherche des solutions sous forme d'ondes planes s = s₀ e^{i ( wt - k.r)}. Montrer que les équations de mouvement se réduisent alors à trois relations linéaires et homogènes des coordonnées de s sur les axes Ox₁Ox₂Ox₃.

5) On considère une onde se propageant dans la direction [110]. Déterminer, en fonction des coefficients C_ijkl et de la masse spécifique r du cristal, les vitesses de déplacement dans les cas d'une onde dont le déplacement s'effectue suivant les directions:
                   -   [001] ( onde transversale de direction de polarisation [001] );
                   -   [110]  (onde longitudinale de direction de polarisation [110]) ;
                   - [1-10] ( onde transversale de direction de polarisation [1-10]).

Pour le germanium, à température ambiante, les vitesses de propagation correspondant aux différentes polarisations sont:
                                                    - selon [110], v_l = 5400ms-1;
                                                    - selon [001], v_t = 3550ms-1;
                                                    - selon [1-10], v_t = 2750ms-1.
6) Sachant que la masse spécifique est de r = 5,46g/cm³, déterminer les coefficients d'élasticité du germanium.

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2) On désire étudier la propagation d'ondes planes progressives dans la direction [11-1] d'un cristal de NaCl.

1) Etablir les expressions des composantes du tenseur de propagation G _ui = C_uvij n_v n_j en fonction de:
                                                     C' = (C₁₁₁₁ + 2C₂₃₂₃) et C'' = (C₁₁₂₂ + C₂₃₂₃)

2) Rechercher les valeurs propres et les vecteurs propres de la matrice représentative de ce tenseur et en déduire la polarisation et la vitesse de propagation des différentes ondes pouvant se propager dans ce cristal selon la direction [111].

AN: r = 2,165.10³kg/m³; C₁₁₁₁ = 4,86.10¹⁰Pa; C₁₁₂₂ = 1,27.10¹⁰Pa; C₂₃₂₃ = 1,28.10¹⁰Pa
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