2) VECTEUR DE POYNTING

2. 1 Définition

Reprenons, en régime quelconque, les deux premières équations de Maxwell

En multipliant scalairement la première par H et la seconde par E et en soustrayant membre à membre les deux relations, et compte tenu de la relation

div ( E x H ) = - E . rot H + H . rot E

on obtient

En introduisant le vecteur de Poynting

P = E x H

et la densité de puissance électromagnétique

la relation précédente s'écrit

Le produit scalaire J. E est la puissance par unité de volume, fournie aux charges libres par le champ E. L'intégration de l'équation sur un volume V conduit à

soit, en appelant S la surface fermée limitant le volume V, et n la normale à S, orientée vers l'extérieur,

Cette relation exprime que le flux du vecteur de Poynting à travers une surface fermée S, délimitant le volume V, est égal à la variation de puissance induite par le champ électromagnétique dans le volume V. En d'autres termes, le flux du vecteur de Poynting à travers S est égal à la puissance transmise par le champ électromagnétique à travers cette surface.

2. 2 Vecteur de Poynting complexe

Lorsque les champs électrique et magnétique de l'onde sont exprimés sous forme exponentielle, il est généralement plus intéressant de raisonner sur les valeurs moyennes, calculées sur une période, que sur les valeurs instantanées.

On sait que pour un élément de circuit soumis à une tension V et parcouru par un courant I

I = I_me^iwt       V = V_me^{iwt + f}

la puissance complexe est

              P = (1/2)VI* = (1/2) V_mI_m [ cos f + i sin f ]

La partie réelle de P est la puissance active, c'est à dire la valeur moyenne de la puissance instantanée sur un nombre entier de périodes. La partie imaginaire la puissance réactive.

La puissance instantanée transporté par une onde plane électromagnétique est donnée par le flux du vecteur de Poynting

P = E x H

L'application du même formalisme à la détermination de la puissance moyenne de l'onde conduit à définir le vecteur de Poynting complexe

P = (1/2) E x H*

H* étant le complexe conjugué de H.

La puissance moyenne traversant une surface S est alors donnée par le flux de la partie réelle du vecteur P à travers celle-ci. La partie imaginaire, quant à elle, représente l'énergie stockée par les champs électrique et magnétique.

2. 3 Onde plane sinusoïdale dans un milieu sans pertes

Considérons un milieu homogène, linéaire et isotrope sans pertes, ne contenant ni charges libres ni courants, caractérisé par sa permittivité diélectrique e et sa perméabilité magnétique µ, dans lequel se propage une onde plane sinusoïdale. Le milieu étant considéré sans pertes e et µ sont réelles.

Dans un tel milieu, les champs électrique E et magnétique H d'une onde plane sinusoïdale sont perpendiculaires à la direction de propagation et sont liés par la relation

H = (1 /wµ) k x E = (k /w µ) u x E

avec k. k = k² = w²eµ

dans laquelle u est le vecteur unitaire selon la direction de propagation et k le vecteur d'onde (cf.Structure d'une onde plane).

L'introduction de l'expression de H dans celle du vecteur de Poynting conduit à

P = (1/2) E x H* = (1/2) E x (1 /wµ) k x E*

soit, puisque E et k sont orthogonaux et en posant E² = E. E*,

P = (1/ 2wµ) [(E. E*)k - (E. k )E*] = (1/ 2wµ) E² k
= (k / 2wµ) E² u = (we / 2k) E² u

{ A x ( A' x A'') = (A . A'') A' - ( A . A' ) A'' }

Dans un milieu sans pertes, e, µ et k sont réels. Il en est donc de même pour P et sont flux à travers une surface S représente la puissance transportée par le champ électromagnétique à travers celle-ci.

2. 4 Onde plane sinusoïdale dans un milieu absorbant

Lorsque le milieu est absorbant, la permittivité diélectrique et éventuellement la perméabilité magnétique, sont des grandeurs complexes. En conséquence, le vecteur d'onde est lui aussi complexe (cf. Cas d'un milieu absorbant).

Considérons, par exemple, un matériau homogène, isotrope et linéaire de permittivité diélectrique complexe e = e' - ie'', et de perméabilité magnétique µ₀. En appelant u le vecteur unitaire selon la direction de k, posons

k = ( k' - ik'' ) u

On a toujours les relations

H = ( k /wµ₀ ) u x E

avec k. k = k² = w²eµ₀

Le champ électrique reste perpendiculaire au champ magnétique, mais k étant complexe, E et H ne sont plus en phase. Le vecteur de Poynting s'écrit

P = (1/2) E x H* = (1/ 2wµ₀ ) E x (k*x E*)

soit, puisque E et k sont orthogonaux et en posant E² = E. E*,

P = (1/ 2wµ₀ ) [ (E. E*)k*- (E. k*)E*] = (1/ 2w µ₀ )E² k*
= (1/ 2wµ₀ )E² ( k' + ik'' ) u

{ A x ( A' x A'' ) = (A . A'' ) A' - ( A . A' ) A'' }

Dans un milieu absorbant, le champ électrique de l'onde est de la forme

E = E₀ e^-ik.r = E₀ e^{-i(k' - ik'') u.r}

(cf. Cas d'un milieu absorbant)

en posant E₀² = E₀. E₀*, on obtient

P = (1/ 2wµ₀ )E₀²e^{-2k'' u.r} ( k' + ik'' ) u

La puissance moyenne à travers une surface S est le flux de la partie réelle de P à travers cette surface. On peut constater que cette puissance présente une décroissance en e^{-2k'' u.r}, traduisant ainsi le caractère dissipatif du milieu.

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