4) Soit un ensemble de N sphères par unité de volume, de rayon r, métallique, parfaitement conductrices. On suppose toute interaction négligeable.         

      1) Calculer la polarisabilité d'une sphère
      2) En déduire la constante diélectrique du milieu e_r si l'on adopte ce modèle pour l'hydrogène atomique gazeux dans les conditions normales.
      3) Que devient e_r si on adopte ce modèle pour un solide : on suppose que les molécules sont de forme sphérique et sont jointives (sans contact électrique) et disposées aux noeuds d'un réseau cubique simple.

1) Polarisabilité d'une sphère

La sphère étant parfaitement conductrice, le champ électrique E à l'intérieur de la sphère est nul. On doit donc avoir lorsqu'on applique un champ E₀, compte tenu de la symétrie sphérique:

E = E₀ + E_d = E₀ - P/ 3e₀ = 0

où E_d est le champ dépolarisant de la sphère. D'où l'expression de la polarisation de la sphère

P = 3e₀ E₀

Par définition

P = dp / dv

d'où

p = (4/3)pR³ P = 4pR³e₀ E₀

On en déduit la polarisabilité a_e de la sphère définie par:

p = a_e E₀

a_e = 4pR³e₀

2) Constante diélectrique du milieu dilué

Pour un milieu dilué on est dans le cas de faibles interactions on peut donc confondre le champ local et le champ électrique macroscopique E dans le matériau, soit

P = S p_i = (e - e₀ ) E = e₀ ( e_r - 1 ) E = Na_e E = 4pNR³e₀ E

où e et e_r sont respectivement les permittivités absolue et relative (e = e₀e_r ) du milieu, et N le nombre de sphères par unité de volume. On en déduit la perméabilité relative du milieu.

e_r = 1 + 4pNR³

Application à l'Hydrogène atomique gazeux

Chaque atome étant assimilé à une sphère, dans des conditions normales de pression et de température

N = 6,02 10²³ / 22,4 10^-3 = 2, 69 10²⁵ atomes/ m³

En prenant pour rayon d'une sphère le rayon de Bohr R = 0,529 10^-10m, on obtient une permittivité de

e_r = 1 + 5 10^-5

3) Application du modèle à un solide

On adopte le modèle des sphères jointives pour un cristal cubique simple. Il n'est pas possible dans ce cas de considérer les sphères sans interactions. Le champ agissant sur les atomes est donc le champ local. Pour un cristal cubique constitué de molécules non polaires le champ local E_loc est le champ de Lorentz:

E_loc = E + P/ 3e₀

La polarisation et la permittivité relative deviennent alors

P = S p_i = (e - e₀ ) E = e₀ (e_r - 1 ) E = Na_e E_loc = Na_e ( E + P/ 3e₀ )

P = Na_e / ( 1 - Na_e / 3e₀ ) E
e_r = 1 + Na_e / (e₀ - Na_e / 3 )

Le nombre N d'atomes par unité de volume, dans le cas d'un réseau cubique simple, dans le modèle choisi, étant donné par:

N = 1 / a³ = 1 / 8R³ = 8,44 10²⁰ atomes / m³

a = 2R étant le paramètre cristallin du réseau

e_r » 4,29