1) Soit un atome d'hydrogène dans l'hypothèse simplifiée du modèle de Bohr.

           1) Ecrire les forces qui agissent sur l'électron gravitant autour du noyau si on applique un champ électrique constant E₀ perpendiculaire au plan de l'orbite.
           2) Calculer l'ordre de grandeur du champ électrique centripète dû au rayon en l'absence de champ extérieur, connaissant le premier rayon de Bohr : r₀ = 0,529 Å qui correspond à l'état fondamental de l'atome d'hydrogène.
            3) En remarquant que les champs appliqués sont en général négligeables devant celui trouvé plus haut, montrer qu'il en résulte un moment dipolaire que l'on calculera. En déduire la polarisabilité d'un atome. Application numérique.
Correction

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2) Un modèle d'atome pour le calcul de la polarisabilité électronique des atomes est le suivant : le noyau est un point chargé de charge Ze (charge positive où Z est le numéro atomique et e la charge élémentaire) situé au centre d'une sphère de rayon r dans laquelle une charge -Ze est distribuée uniformément en volume. Quand on applique un champ électrique E, on admet que la distribution des charges négatives n'est pas modifiée et que le noyau est déplacé d'une distance d à partir de sa position d'équilibre, jusqu'à ce que la force électrostatique due au champ électrique soit compensée par la force de rappel provenant de l'action des charges négatives.

      1) Ecrire l'expression de la force de rappel et en déduire le moment p_e du dipôle induit en fonction de r et de E.
      2) Déduire de p_e la polarisabilité électronique a _e de l'atome envisagé.
      3) Prenant r = 1 Å, donner un ordre de grandeur de a _e puis calculer d pour E = 300 V/cm avec Z = 1. Comparer d à r.
Correction

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3) Soit un milieu cristallin diélectrique à polarisation permanente. Les dipoles ont, exclusivement, une orientation parallèle ou antiparallèle au champ appliqué E. Il y a N dipoles par unité de volume et chaque dipole a un moment permanent p. Les probabilités de passage du niveau d'énergie W₁ au niveau W₂ (et réciproquement de W₂ à W₁), par suite de l'agitation thermique, sont égales à p₁₂ et p₂₁.

        1) Donner l'équation d'évolution des populations n₁ et n₂ des niveaux W₁ et W₂. Ecrire que le système est en équilibre et que n₁ et n₂ obéissent à la loi de distribution de Boltzmann. En déduire p₁₂ et p₂₁.
        2) Donner l'évolution du vecteur polarisation en fonction du temps si on applique, à l'instant t = 0, un champ électrique continu E = E₀i. Les moments permanents sont en général tels que ( pE₀ / kT ) est petit devant l. On confondra par ailleurs champ local et champ appliqué.
         3) Quelle forme peut-on donner en régime permanent à la polarisabilité si E est une fonction sinusoïdale du temps. En déduire e_r que l'on donnera sous la forme : e_r = e ' - je''.
Correction

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4) Soit un ensemble de N sphères par unité de volume, de rayon r, métallique, parfaitement conductrices. On suppose toute interaction négligeable.         

      1) Calculer la polarisabilité d'une sphère
      2) En déduire la constante diélectrique du milieu e_r si l'on adopte ce modèle pour l'hydrogène atomique gazeux dans les conditions normales.
      3) Que devient e_r si on adopte ce modèle pour un solide : on suppose que les molécules sont de forme sphérique et sont jointives (sans contact électrique) et disposées aux noeuds d'un réseau cubique simple.
Correction

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5) On suppose que le champ local induit dans chaque molécule du solide un dipôle de moment:

p = a E_loc

où a est la polarisabilité totale du constituant. On considère un diélectrique solide à structure cubique et à molécules non polaires. La polarisabilité est supposée donnée par a = 4pe₀a³ où a représente le rayon moléculaire moyen.

     1) Quel est, dans ce cas, le champ local?
      2) Calculer, en fonction de a et de la permittivité relative e_r, le nombre de molécules par unité de volume du diélectrique.
      3) Le diélectrique a pour masse moléculaire M et pour masse spécifique r . Calculer la valeur du rayon moléculaire moyen.
      4) Application numérique : e _r = 6,4 ; M = 459 grammes ; r = 1,66 g/cm³.

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6) On considère un corps liquide diélectrique dont la polarisabilité totale (la susceptibilité, la permittivité) procède de deux mécanismes distincts : électronique et dipolaire d'orientation. On suppose que ce corps obéit parfaitement aux théories élémentaires de ces deux mécanismes, en particulier à celle de Debye. On admet, de plus, que le champ effectif local se confond avec le champ agissant macroscopique.
Le liquide a pour masse moléculaire M = 25.10^-3 kg et pour masse spécifique r = 5.10³ kg.m^-3.          

       1) Dans un champ électrique statique de faible intensité, on a relevé les valeurs suivantes de la permittivité à deux températures différentes :

e = 12,37 pour T = 300 k
e = 9,92 pour        T = 400 k

En déduire :

a) la polarisabilité totale de chaque molécule pour chacune des deux températures précédentes;
b) le moment dipolaire permanent d'une molécule;
c) la contribution dipolaire à la polarisabilité totale pour chacune des deux températures;
d) la contribution électronique à la polarisabilité totale;
e) les contributions électronique et dipolaire à la susceptibilité totale pour chacune des deux températures;
f) la polarisation à saturation qu'acquerrait le diélectrique dans un champ infiniment intense et/ou à la température nulle.

        2) En admettant la représentation classique liant la polarisabilité électronique au seul rayon des orbites électroniques, à quel "rayon" moyen de la molécule correspond la valeur de la polarisabilité électronique trouvée à la question précédente?

        3) A la température T = 300 K, on a mesuré la partie réelle e ' de la permittivité dans un champ alternatif de faible amplitude et de pulsation w . Outre le point statique de la question précédente : e ' = 12,37 pour w = 0, on a relevé la valeur e ' = 7,45 pour w = 10¹⁰ s^-1.

a) En déduire la valeur du temps de relaxation caractéristique t du liquide à la température concernée.
b) A quelle valeur de la partie imaginaire e'' de la permittivité doit-on s'attendre pour T = 300 K et w = 10¹⁰ s^-1? Est-elle maximale? Donner l'allure (et rien d'autre ; pas de calculs mathématiques...) des courbes représentatives du spectre électrique.
c)  On a mesuré pour viscosité du liquide à la température T = 300 K, h = 10^-3 Pl. En déduire le rayon a de la molécule sphérique au sens de la théorie de Debye. Ce résultat est-il en accord avec celui de la question 2? (On rappelle que le couple de frottement s'opposant à la rotation d'une sphère au sein d'un fluide visqueux est donné par la formule se Stokes: e = 8p h a³)

        4) Le liquide présente un indice de réfraction optique égal à 1,59. Ce résultat vous semble-t-il en accord avec la théorie?

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7) On se propose de calculer la contribution de la vibration des ions à la polarisabilité totale dans le cas d'un cristal ionique, le chlorure de césium (CsCl). On rappelle que la structure du chlorure de césium est caractérisée par un réseau cubique (C.S.) de paramètre cristallin a = 4,11 Å et par un motif constitué de 2 ions, un ion de Cl^- en 0, 0, 0 et un ion de Cs⁺ en 1/2, 1/2, 1/2.

        1) Dessiner la structure cristalline de CsCl.
        2) Vérifier que le long d'une direction [111] on a une succession régulière d'ions Cl^- et d'ions Cs⁺ . Calculer la distance b entre un ion Cl^- et un ion Cs⁺ le long de cette ligne d'atomes.

On applique un champ électrique E(t) suivant la direction [111] du cristal. L'ensemble des ions négatifs et positifs se déplace alors en sens inverse donnant naissance à la polarisation. Les forces électrostatiques qui maintiennent le cristal en équilibre se décomposent en une force de Coulomb entre les charges supposées localisées aux barycentres des ions et une force de répulsion dérivée d'une énergie potentielle de la forme

où K et l sont des constantes et d la distance entre deux ions. Dans la ligne d'atomes, un ion Cs⁺ est alors encadré par un ion Cl^- à la distance (b + x) et un ion Cl^- à la distance (b-x).

      3) En ne prenant en compte que les plus proches voisins et en admettant que x est très petit devant b (x<<b), exprimer l'énergie d'un ion Cs⁺.
      4) Montrer que la force de rappel s'exerçant sur les ions est proportionnelle à x. En reprenant les résultats obtenus en étudiant la propagation d'une onde dans une chaîne d'atomes:

      5) Donner, pour w << w ₀, le moment dipolaire p d'une molécule et la polarisation ionique du cristal.
      6) Donner la polarisabilité statique a_i (on confondra champ local et champ appliqué).
      7) En déduire la susceptibilité ionique statique c_i.
      8) En déduire la constante diélectrique statique si l'on connaît l'indice de réfraction n. On donne:
Masse atomique de Cl = 35,5.10^-3 kg
Masse atomique de Cs = 132,9.10^-3 kg
l₀ = 102 µm ; n = 1,64 ; e₀ = (36p .10⁹)^-1 F.m^-1 ; N = 6,02.10²³ mole^-1.

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8) On considère un électron caractérisé par sa masse m = 9,107.10^-31 kg et sa charge e = -1,6.10^-19 C lié à un atome fixe. La constante de la force de rappel est b; on désigne par w ₀ la fréquence propre de cet oscillateur harmonique et par a le coefficient d'amortissement. On soumet cet électron à un champ électrique sinusoïdal.

       1) Ecrire l'équation différentielle du mouvement de cet électron et donner la solution de cette équation différentielle.
       2) Calculer le moment dipolaire induit et en déduire la polarisabilité électronique a en fonction de w.
       3) On donne la polarisabilité statique (pour w = 0): a_s = 9,0810^-43MKS
Calculer w₀. Dans quel domaine se situe cette fréquence?

      4) On considère maintenant le gaz d'hydrogène sous très faible pression.
           41) Quels sont dans ces conditions, le champ effectif local et la relation existant entre la constante diélectrique e_r, la polarisabilité a et la densité volumique d'atomes N.
           42) En admettant que e _r est très voisin de 1, vérifier que l'on trouve:

e_r-1 » ( Na / e_r )

Vérifier qu'on aurait pu trouver ce résultat en confondant champ local et champ macroscopique moyen.
           43) Développer dans ces conditions e_r sous la forme: e_r = e' - je''.

      5) On pose en général:

e' - je '' = ( n - j k )²

où n est l'indice de réfraction et k un coefficient appelé coefficient d'absorption. En général, a, le coefficient d'amortissement, est faible et n'intervient que pour des fréquences voisines de w₀. D'autre part, n est proche de 1 et k << n.

           51) Donner l'expression de l'indice de réfraction n
           52) Donner l'expression du coefficient d'absorption k au voisinage de la fréquence w₀