1) On considère un cristal monoatomique illimité, ayant une structure cubique simple. Dans ce cristal se propage, selon l'un des axes de symétrie, une onde élastique dont la longueur d'onde est de l'ordre de grandeur de la distance interatomique.

           1) Montrer qu'un atome d'un plan réticulaire n est soumis de la part d'un atome du plan réticulaire n+p à une force de rappel que l'onde soit transversale ou longitudinale. En déduire la forme de la force de rappel à laquelle est soumis un atome de du plan n.
            2) On limite dans le reste du problème l'interaction à celle des plus proches voisins. Ecrire dans ce cas les équations de mouvement et en déduire la relation de dispersion.
            3) Déterminer les vitesse de phase et de groupe de l'onde élastique. Montrer qu'il existe une pulsation limite w_c au delà de laquelle les ondes deviennent évanescentes.
            4) Montrer que dans le cas des grandes longueurs d'ondes (kd<<1) la vitesse de l'énergie est indépendante de la longueur d'onde
            5) Quels sont les vecteurs d'ondes permis dans le cas d'un cristal de dimensions finies.
Correction

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2) On considère le cas de la propagation d'une onde selon la direction [111] dans d'un cristal de NaCl. Les plans réticulaires ne contiennent dans ce cas qu'un seul type d'atomes, Na ou Cl. On note d la distance inter-réticulaire. On se limitera à l'influence des plus proches voisins.

             1) Ecrire les équations de mouvement .
             2) Déterminer la relation de dispersion
             3) Déterminer les expressions de la pulsation dans le cas des grandes longueurs d'ondes et dans celui ou le vecteur d'onde est situé sur la limite de la 1^ère zone de Brillouin. En déduire l'existence d'une bande interdite.
Correction

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3) On considère un réseau monoatomique linéaire de longueur L, comprenant N atomes, et dont les interactions sont limitées aux plus proches voisins, sur lequel se propage une onde élastique.

        1) A partir de l'équation de mouvement, déterminer la relation de dispersion
        2) En déduire la vitesse de groupe de l'onde élastique
        3) Déterminer la densité de modes
Correction

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4) Modèle d'einstein En 1907, Einstein a proposé un modèle du solide capable d'expliquer le comportement de la capacité calorifique aux basses températures où les données expérimentales montraient un désaccord important avec la loi empirique de Dulong et Petit. Dans le modèle d'Einstein le solide est considéré comme une collection d'oscillateurs indépendants ayant tous la même pulsation naturelle et dont l'énergie est quantifiée.

        1) Soit w_E la pulsation naturelle des oscillateurs, définir Q_E, la température caractéristique d'Einstein et exprimer la fonction de partition du solide en terme de Q_E.
        2) Obtenir l'expression de l'énergie moyenne de vibration des atomes
        3) En déduire la contribution du réseau à la capacité calorifique.
        4) Etudier son comportement pour les très basses et très hautes températures.

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5) Modèle de Debye En 1912, Debye a proposé une amélioration du modèle d'Einstein qui tient compte du fait que les atomes ne sont pas indépendants car chacun est influencé par le mouvement des autres. En revanche, les modes normaux sont indépendants à l'approximation harmonique. Dans le modèle de Debye on considère le solide comme une collection d'oscillateurs indépendants dont les pulsations caractéristiques sont celles des modes normaux. Le nombre d'oscillateurs étant très grand ces pulsations sont très nombreuses et remplissent pratiquement un continuum.

        1) Obtenir l'expression de la densité de modes.
        2) Par définition la pulsation de Debye est la plus haute pulsation caractéristique du solide, donner son expression.
        3) Calculer la fonction de partition de vibration du réseau.
        4) Définir la température de Debye et exprimer sa fonction de partition en fonction de ce paramètre
        5) Calculer la capacité calorifique du réseau dans le modèle de Debye.