3)  On considère un réseau monoatomique linéaire de longueur L, comprenant N atomes, et dont les interactions sont limitées aux plus proches voisins, sur lequel se propage une onde élastique.

        1) A partir de l'équation de mouvement, déterminer la relation de dispersion
        2) En déduire la vitesse de groupe de l'onde élastique
        3) Déterminer la densité de modes

1) Relation de dispersion

Si M est la masse d'un atome, l'équation de mouvement s'écrit:

On cherche des solutions sous forme d'ondes planes:

S_n = S_o e^{j (wt - knd)}

Soit en remplaçant dans l'équation précédente

                                -w² MS_o e^{j (wt - knd)} = CS_o e^{j wt} [e^-jk(n+1)d + e^-jk(n-1)d - 2 e^-jknd ]
                                -w²M = 2C(cos kd - 1)
                                w² = (2C/M)(1 - cos kd) = (4C/M)sin²(kd/2)

         (1)

2) Vitesse de groupe

La vitesse de groupe est la vitesse de propagation de l'énergie, elle est définie par:

3) Densité de modes

Si on choisit les condition cycliques de Von Karman, chaque vecteur d'onde k occupe un intervalle (2p/L) dans l'espace des vecteurs d'onde (cf. exercice 1). Le nombre de vecteurs d'onde dont le module est inférieur à celui d'un vecteur k donné est

N = 2k/(2p/L) = Lk/p

Pour une dimension, si L est la longueur du réseau, la densité de modes g(w) est donc:

g(w ) = dN/dw = (dN/dk)(dk/dw) = (L/p)(dk/dw)

soit

En utilisant la relation de dispersion (1) et en remarquant que L=Nd on obtient:

avec