2) On considère le cas de la propagation d'une onde selon la direction [111] dans d'un cristal de NaCl. Les plans réticulaires ne contiennent dans ce cas qu'un seul type d'atomes, Na ou Cl. On note d la distance inter-réticulaire. On se limitera à l'influence des plus proches voisins.

             1) Ecrire les équations de mouvement .
             2) Déterminer la relation de dispersion
             3) Déterminer les expressions de la pulsation dans le cas des grandes longueurs d'ondes et dans celui ou le vecteur d'onde est situé sur la limite de la 1^ère zone de Brillouin. En déduire l'existence d'une bande interdite.

1) Equations de mouvement

Sur la direction [111] on a alternativement des atomes de Na, de masse m et de Cl, de masse M, c'est à dire la séquence

Cl_n-1 - Na_{n -1} - Cl_n - Na_n - Cl_n+1

En appelant R_n et S_n les déplacements respectifs des atomes Na et Cl, les équations de mouvement s'écrivent:

On cherche des solutions sous forme d'ondes planes progressives

S_n = S_o e^j(wt-knd)           R_n = R_o e^j(wt-knd)

d étant la distance entre 2 plans contenant le même type d'atomes

En remplaçant dans les équations de mouvement:

            - w² MS_oe^{j (wt-knd)} = Ce^{j wt} [ R_oe^-jknd + R_oe^-jk(n-1)d - 2S_oe^-jknd ]
            - w² mR_oe^{j (wt-knd)} = Ce^{j wt} [ S_oe^-jknd + S_oe^-jk(n+1)d - 2R_oe^-jknd ]

           - w² MS_o = C [ R_o( 1 + e^jkd ) - 2S_o ]
           - w² mR_o = C [ S_o( 1 + e^-jkd ) - 2R_o ]

2) Relation de dispersion

Le sytème qui admet des solutions non triviales si le déterminant

soit

mMw⁴ - 2C ( M + m )w² + 2C² ( 1 - cos kd ) = 0

d'où les racines

à la limite de la 1^ère zone de Brillouin k = ± (p /d) on a

                   w₊² = (2C / m)           w_-² = (2C / M)

Dans le cas des grandes longueurs d'ondes (kd<<1)      cos kd » 1 - (k²d²/2)

En supposant (M > m), pour w₊²> w> w_-² il n'y a pas de propagation possible. Si les deux atomes sont de même type la bande interdite disparaît.