1) On considère un cristal monoatomique illimité, ayant une structure cubique simple. Dans ce cristal se propage, selon l'un des axes de symétrie, une onde élastique dont la longueur d'onde est de l'ordre de grandeur de la distance interatomique.

           1) Montrer qu'un atome d'un plan réticulaire n est soumis de la part d'un atome du plan réticulaire n+p à une force de rappel que l'onde soit transversale ou longitudinale. En déduire la forme de la force de rappel à laquelle est soumis un atome de du plan n.
            2) On limite dans le reste du problème l'interaction à celle des plus proches voisins. Ecrire dans ce cas les équations de mouvement et en déduire la relation de dispersion.
            3) Déterminer les vitesse de phase et de groupe de l'onde élastique. Montrer qu'il existe une pulsation limite w_c au delà de laquelle les ondes deviennent évanescentes.
            4) Montrer que dans le cas des grandes longueurs d'ondes (kd<<1) la vitesse de l'énergie est indépendante de la longueur d'onde
            5)  Quels sont les vecteurs d'ondes permis dans le cas d'un cristal de dimensions finies.

1) force de rappel

              Onde longitudinale

A et B étant deux atomes respectivement des plan n et n+p. A l'équilibre la distance entre les deux est de:
                   R² = (pd)² + (na)²

d étant la distance interéticulaire

Après perturbation cette distance devient au premier ordre près

(R + DR)² = (pd + S_n+p - S_n)² + (na)² » (pd)² + 2pd(S_n+p - S_n) + (na)² » R² + 2RDR

d'où

La composante de la force de rappel sur la direction de s s'écrit alors:

( a angle entre R et k )

L'atome A est donc soumis de la part des atomes du plan (n+p) à une force de rappel qui, par raison de symétrie, est parallèle à s. En posant:       

cette force s'écrit

F_n = C_p (S_n+p - S_n)

Après perturbation la distance entre les atomes A et B devient au premier ordre près

(R + DR)² = (pd)² + (na + S_n+p - S_n)² » (pd)² + 2na(S_n+p - S_n) + (na)² » R² + 2RDR

La composante de la force de rappel sur la direction de s s'écrit alors:

( a angle entre R et k )

Comme dans le cas précédent, l'atome A est donc soumis de la part des atomes du plan (n+p) à une force de rappel qui, par raison de symétrie, est parallèle à s. En posant:

cette force s'écrit

F_n = C_p (S_n+p - S_n)

D'où, dans l'un et l'autre cas , un atome du plan réticulaire est soumis de la part des atomes se trouvant sur tous les autres plans réticulaires à une force de rappel

2) Equations de mouvement-équation de dispersion.

Si M est la masse d'un atome, l'équation de mouvement s'écrit:

On cherche des solutions sous forme d'ondes planes:          S_n = S_oe^{j (wt - knd)}

Soit en remplaçant dans l'équation précédente

                                -w²M S_o e^{j (wt-knd)} = C S_o e^jwt [e^{-jk(n+1) d} + e^{-jk(n-1) d} - 2e^-jknd ]
                                -w²M = 2C(cos kd - 1)
                                w² = (2C/M)(1 - cos kd) = (4C/M)sin²(kd/2)

3) vitesse de groupe-vitesse de phase

La vitesse de groupe est la vitesse de propagation de l'énergie:

Pour une valeur de w il existe une infinité de vecteurs d'ondes k_m = k + (m2p/d) solutions de l'équation précédente, mais ils correspondent tous au même déplacement atomique. On peut donc se limiter aux valeurs telles que k < p/d. Pour k = ± (p/d), première zone de Brillouin, v_g=0, on a formation d'ondes stationnaires dans le cristal.

La vitesse de phase est définie par:

pulsation limite

la valeur maximale de w est

Pour w > w_c l'équation w² = (4C/M)sin²(kd/2) n'admet que des solutions complexes. En posant
                   k = (p/d) + ja     (a Î R)
                                                          
S_n = S_o e^jwte^-andonde évanescente rapidement amortie.

4) cas des grandes longueurs d'ondes

kd<<1       sin(kd/2) » (kd/2)

5) Réseau de dimensions finies

En supposant que les plans réticulaires 0 et N, qui limitent le cristal soient immobiles, la solution de l'équation de mouvement

est de la forme:

S_n = S_oe^jwt ( Ae^-jknd + Be^jknd)

Avec       S₀ = S_N = 0. D'où A + B = 0 et sin (Nkd) = 0

Les valeurs possibles pour les vecteurs d'onde sont donc:

k = mp / Nd

et les solutions sont des ondes stationnaires de la forme

S_n = K e^jwtsin (n mp/N)

Les valeurs positives et négatives et positives de m conduisent aux mêmes déplacements. Par conséquent, à l'intérieur de la première zone de Brillouin le vecteur d'onde ne peut prendre que N-1 valeurs:

k = mp / Nd            avec m = 1, 2,...N-1

Si on choisit des conditions aux limites cycliques (Von Karman): S_n=S_n+N. Les solutions sont alors des ondes progressives, et les valeurs permises pour le vecteur d'onde sont:

                            k = m2p / Nd          avec m =± 1 , 2,...(N-1)/2   si N est impair
                                                                    m = ± 1 , 2,...N/2     si N est pair

On trouve à nouveau N-1 valeurs possible. En effet, si N est pair, les valeurs +N/2 et -N/2 conduisent aux mêmes déplacements puisque les vecteurs d'onde k_m

k_m = k + (m2p/d)

conduisent aux mêmes déplacements (cf. §3).