1) Soit un milieu cristallin diélectrique à polarisation permanente. Les dipoles ont, exclusivement, une orientation parallèle ou antiparallèle au champ appliqué E. Il y a N dipoles par unité de volume et chaque dipole a un moment permanent p. Les probabilités de passage du niveau d'énergie W₁ au niveau W₂ (et réciproquement de W₂ à W₁), par suite de l'agitation thermique, sont égales à p₁₂ et p₂₁.

        1) Donner l'équation d'évolution des populations n₁ et n₂ des niveaux W₁ et W₂. Ecrire que le système est en équilibre et que n₁ et n₂ obéissent à la loi de distribution de Boltzmann. En déduire p₁₂ et p₂₁.
        2) Donner l'évolution du vecteur polarisation en fonction du temps si on applique, à l'instant t = 0, un champ électrique continu E = E₀i. Les moments permanents sont en général tels que ( pE₀ / kT ) est petit devant l. On confondra par ailleurs champ local et champ appliqué.
         3) Quelle forme peut-on donner en régime permanent à la polarisabilité si E est une fonction sinusoïdale du temps. En déduire e_r que l'on donnera sous la forme: e_r = e' - je''.
Correction

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2)
    1) Ecrire les relations entre les composantes de l'induction et du champ électriques D et E dans un diélectrique anisotrope avec des axes (Ox₁,x₂,x₃) choisis rectangulaires.
    2) Calculer le produit scalaire D. E en fonction de E₁ E₂ E₃, les composantes de E et des e_ij.
    3) L'équation obtenue ainsi est celle d'un quadrique par rapport à des axes Ox₁x₂x₃. Il existe alors une rotation de ces axes telle que l'équation de la quadrique par rapport aux nouveaux axes ne contienne plus de termes rectangles (c'est-à-dire de termes E_i E_j avec i ¹ j). Donner alors l'expression du produit D. E.
    4) Une lame diélectrique anisotrope est introduite entre les armatures de surface S et de distance d d'un condensateur plan, le contact étant parfait. La normale aux armatures a pour cosinus directeurs (l, m, n) par rapport aux axes électriques Oxyz. Calculer l'énergie emmagasinée dans le condensateur en fonction de V, différence de potentiel entre les armatures, d, e_z, e_x, e_y, l, m, n. En déduire la valeur de la capacité C du condensateur en fonction de e_x, e_y, e_z, l, m, n, S et d.
     5) Vérifier que si e_x = e_y = e_z, on retrouve la formule habituelle donnant la capacité du condensateur plan.

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3) On considère un électron caractérisé par sa masse m = 9,107.10^-31kg et sa charge e = -1,6.10^-19C lié à un atome fixe. La constante de la force de rappel est b; on désigne par w₀ la fréquence propre de cet oscillateur harmonique et par a le coefficient d'ammortissement. On soumet cet électron à un champ électrique sinusoïdal.

    1) Ecrire l'équation différentielle du mouvement de cet électron et donner la solution de cette équation différentielle.
    2) Calculer le moment dipolaire induit et en déduire la polarisabilité électronique a en fonction de w.
    3) On donne la polarisabilité statique (pour w = 0): a_s = 9,0810^-43MKS
Calculer w₀. Dans quel domaine se situe cette fréquence?

On considère maintenet un gaz d'hydrogène atomique sous très faible pression.
    4) Quel est, dans ces conditions, le champ effectif local et quelle est la relation existant entre la constante diélectrique e_r, la polarisabilité a et la densité volumique d'atomes N.
    5) En admettant que e_r est très voisin de 1, vérifier que l'on trouve

      6) Vérifier que l'on aurait trouvé ce résultat en confondant champ local et champ macroscopique moyen.
      7) Développer dans ces conditions e_r sous la forme e_r = e' - je'' et exprimer e' et e''.
      8)  On pose en général: e_r = e' - je = (n - jk )², où n est l'indice de réfraction et k un coefficient appelé coefficient d'absorption. En général, a : coefficient d'amortissement, est faible et n'intervient que pour des fréquences voisines de w₀ . D'autre part, n est proche de 1 et k << n.
      9) Donner l'expression de l'indice de réfraction n
     10) Donner l'expression de k au voisinage de w = w₀
     11) Tracer l'allure des courbes (n - 1) = f(w ) et k = f(w ) autour de w = w₀ (courbe de dispersion et d'absorption).

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4) Le tenseur diélectrique [e] relie l'induction électrique D au champ électrique appliqué E:

     D = [e] E                    soit:    D_i = å e_ij E_j            i = 1,2,3 ; j = 1,2,3

   Pour un champ électrique de direction donnée, on mesure l'induction électrique D_E dans la même direction et la constante diélectrique | e | du cristal pour cette direction est telle que
D_E = | e | E.

1) Exprimer | e | en fonction des coefficients e_ij du tenseur de permittivité. On caractérisera la direction de mesure par ses cosinus directeurs.
2) Application:

Calculer la permittivité dans la direction [321].
Correction