1) Une substance paramagnétique contenant N dipôles identiques, de moment M, par unité de volume est placée dans un champ magnétique uniforme H. Les dipôles ne peuvent s'orienter que parallèlement ou antiparallèlement au champ. L'énergie d'interaction dipolaire est supposée négligeable.

1) Donner l'énergie magnétostatique des dipôles
2) Donner à l'équilibre thermodynamique, pour une température T, la densité des populations des deux niveaux d'énergie magnétique susceptibles d'être occupés par ces dipôles en supposant qu'ils obéissent à la statistique de Maxwell-Boltzmann.
3) En déduire l'aimantation I de la substance paramagnétique et sa variation en fonction de H
4) Dans le domaine de validité de la loi de Curie, donner l'expression de la susceptibilité de la substance considérée.
Correction

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2) Considérons un ensemble macroscopique d'atomes, chacun ayant un moment magnétique dû au spin électronique. Pour un électron dépourvu de moment cinétique, le moment magnétique associé à son spin est:

1) Quelle est l'énergie d'un électron dans un champ magnétique uniforme parallèle à la direction Oz. Montrer que les atomes se répartissent sur deux niveaux d'énergie que l'on déterminera.

2) Pour un ensemble d'atomes on peut définir une température T qui correspond à l'équilibre thermique pour lesquels les atomes se répartissent entre les deux niveau d'énergie. La population de ces deux niveaux est donnée par la distribution de Maxwell-Boltzmann.

21) Calculer l'aimantation I du milieu.
22) Calculer la susceptibilité pour des champs faibles à température ordinaire. Montrer qu'elle est inversement proportionnelle à la température.
23) Déterminer la constante de Curie en fonction de µ_B
Correction

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3) Théorie de Langevin: On suppose que les atomes d'une substance paramagnétique possède un moment magnétique µ par qui peut être considéré comme un vecteur classique. Toutes les orientations sont possible en présence d'un champ magnétique uniforme B = Bk. On admet de plus que le système est décrit par la statistique de Maxwell-Boltmann.

1) Donner la probabilité pour que le moment magnétique d'un atome soit dirigé dans l'angle solide dW.
2) Donner la valeur moyenne de la composante selon k du moment magnétique d'un système comprenant N atomes en fonction de la fonction de Langevin définie par:

L(x) = coth (x) - 1/x

3) Montrer que pour une induction magnétique assez faible ou pour une température assez élevée l'aimantation vérifie la loi de Curie.
4) Que devient la composante I_z de l'aimantation selon k lorsque l'induction est très intense ou la température très basse?
Correction

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4) Théorie de Brillouin: On suppose que les atomes d'une substance paramagnétique possèdent chacun un moment cinétique total J, décrit par la mécanique quantique, auquel est associé un moment magnétique. En présence d'un champ d'induction magnétique uniforme B=Bk chaque atome possède 2J+1 états stationnaires dont les énergies sont:

e_m = mgµ_BB    (m = -J, -J+1, ..., J)

où g est le facteur de Landé et µ_B le magnéton de Bohr. On suppose de plus que le système est décrit par la statistique de Maxwell-Boltzmann.

1) Calculer la fonction de partition du système.
2) Calculer la probabilité pour qu'un atome soit dans l'état d'énergie e_m
3) Ecrire le module de l'aimantation sous la forme:

I_z = ngµ_BJB_J(y)         y = gµ_BbB     avec b = 1/kT

où B_J(y) est la fonction de Brillouin et n = N/V le nombre d'atomes par unité de volume.

4) Que devient l'aimantation I_z en présence d'un champ très fort ou à basse température
5) Montrer qu'en présence d'un champ faible ou à haute température on retrouve bien la loi de Curie, et donner l'expression de la constante de Curie.
Correction

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5) Dans le cas du paramagnétisme parfait, il n'existe aucune interaction entre les moments dipolaires des différentes molécules d'un matériau. La susceptibilité de tels matériaux suit alors une loi simple en (C/T) où C est la constante de Curie. De nombreux matériaux paramagnétiques ne suivent pas exactement cette loi mais une loi dite de Curie-Weiss.

1) Quelle fut l'hypothèse posée par Weiss pour établir cette loi? On appellera H_m le champ moléculaire de weiss et W le coefficient de champ moléculaire.

2) On désire étudier le cas du nickel au dessus de la température de transition ferro-paramagnétique. On admettra que chaque atome de nickel porte un moment magnétique µ qui ne peut s'orienter que parallèlement ou anti-parallèlement. au champ local: H = H₀ + H_m

21) Déterminer dans ces conditions, à l'équilibre thermodynamique à une température T la composante l'aimantation I du nickel suivant la direction du champ H.
22) Etablir dans ce cas la loi de variation de la susceptibilité paramagnétique du nickel en fonction de la température.
23) Cette loi s'écrit pour le nickel:

X = 0,325 / ( T -650 )

En déduire la valeur du coefficient de champ moléculaire dans le cas du nickel.
24) Le nickel a pour masse atomique M=58 et pour masse spécifique r = 8,9 103 kg/m3. Déterminer le moment magnétiquer porté par chacun des atomes.
25) En déduire l'aimantation à saturation et le champ moléculaire correspondant à cette saturation.