4) Théorie de Brillouin: On suppose que les atomes d'une substance paramagnétique possèdent chacun un moment cinétique total J, décrit par la mécanique quantique, auquel est associé un moment magnétique. En présence d'un champ d'induction magnétique uniforme B=Bk chaque atome possède 2J+1 états stationnaires dont les énergies sont:

e_m = mgµ_BB    (m = -J, -J+1, ..., J)

où g est le facteur de Landé et µ_B le magnéton de Bohr. On suppose de plus que le système est décrit par la statistique de Maxwell-Boltzmann.

1) Calculer la fonction de partition du système.
2) Calculer la probabilité pour qu'un atome soit dans l'état d'énergie e_m
3) Ecrire le module de l'aimantation sous la forme:

I_z = ngµ_BJB_J(y)         y = gµ_BbB     avec b = 1/kT

où B_J(y) est la fonction de Brillouin et n = N/V le nombre d'atomes par unité de volume.

4) Que devient l'aimantation I_z en présence d'un champ très fort ou à basse température
5) Montrer qu'en présence d'un champ faible ou à haute température on retrouve bien la loi de Curie, et donner l'expression de la constante de Curie.>

1) Fonction de partition du système

Le système étant décrit par la statistique de Maxwell-Boltzmann, sa fonction de partition est de la forme ZN, ou N est le nombre d'atomes constituant le système et

2) Probabilité pour qu'un atome soit dans l'état d'énergie e_m

D'après la statistique de Maxwell-Boltzmann, cette probabilité est donnée par:

3) Module de l'aimantation

Le champ étant appliqué selon k l'aimantation est elle même dirigée selon k. Sa composante est alors:

I_z = n < µ_z

n étant le nombre d'atomes par unité de volume et µ_z le moment magnétique d'un de ces atomes. Soit,

en introduisant la fonction de Brioullin

JB_J(y) = (J+1/2)coth(J+1/2)y - (1/2)coth(y/2)

I_z = ngµ_BJB_J(y)

4) Aimantation en champ fort ou basse température

Dans l'un et l'autre cas y >> 1, coth(J+1/2)y » coth(y/2) » 1, et

I_z » Jngµ_B

5) Aimantation en champ faible ou haute température

coth x » (1/x) + (x/3), d'où

JB_J(y) = (J+1/2)coth(J+1/2)y - (1/2)coth(y/2) » 1/y + (J+1/2)²y - 1/y -y/12
           = (J² + J)y / 3

et M_z » ngµ_BJ(J+1)y/3

En remplacant y par son expression

M_z » C / T     avec C = ngµ_B² J(J+1)B / 3k

On retrouve la loi de Curie.