3) Théorie de Langevin: On suppose que les atomes d'une substance paramagnétique possède un moment magnétique µ par qui peut être considéré comme un vecteur classique. Toutes les orientations sont possible en présence d'un champ magnétique uniforme B = Bk. On admet de plus que le système est décrit par la statistique de Maxwell-Boltmann.

1) Donner la probabilité pour que le moment magnétique d'un atome soit dirigé dans l'angle solide dW.
2) Donner la valeur moyenne de la composante selon k du moment magnétique d'un système comprenant N atomes en fonction de la fonction de Langevin définie par:

L(x) = coth (x) - 1/x

3) Montrer que pour une induction magnétique assez faible ou pour une température assez élevée l'aimantation vérifie la loi de Curie.
4) Que devient la composante I_z de l'aimantation selon k lorsque l'induction est très intense ou la température très basse?

1) Probabilité pour une orientation dans l'angle solide dW

L'énergie du moment magnétique est en notant q l'angle entre µ et B:

U = - µ . B = - µBcos q

Si le système suit la statistique de Maxwell-Boltzmann, la probabilité de trouver le moment magnétique dans l'angle solide dW est de la forme

dP = C e^-bU dW

où C est une constante denormalisation et b = 1/ kT (k constante de Boltzmann)

dW = 2psin qdq

En intégrant sur toutes les valeurs de q

soit

2) Valeur moyenne de la composante selon k du moment magnétique

Pour N atomes, le moment magnétique à pour composante moyenne selon k

M_z = N <µ_z> = Nµ <cos q>

en posant x = bµB

soit M_z = NµL(x)

3) Aimantation en champ faible ou haute température

Les conditions champ faible ou haute température sont équivalentes à x <<1. On a alors:

coth x » x^-1 + x/3

L'aimantation selon z est alors peu différente de

de la forme I_z = C B/T avec C=Nµ² / V3k

4) Aimantation en champ intense ou basse température

Dans le cas où x >> 1,  coth x » 1, x^-1» 0, et I_z » (N/V)µ

Le matériau est aimanté à saturation.