2) Considérons un ensemble macroscopique d'atomes, chacun ayant un moment magnétique dû au spin électronique. Pour un électron dépourvu de moment cinétique, le moment magnétique associé à son spin est:

1) Quelle est l'énergie d'un électron dans un champ magnétique uniforme parallèle à la direction Oz. Montrer que les atomes se répartissent sur deux niveaux d'énergie que l'on déterminera.

2) Pour un ensemble d'atomes on peut définir une température T qui correspond à l'équilibre thermique pour lesquels les atomes se répartissent entre les deux niveau d'énergie. La population de ces deux niveaux est donnée par la distribution de Maxwell-Boltzmann.

21) Calculer l'aimantation I du milieu.
22) Calculer la susceptibilité pour des champs faibles à température ordinaire. Montrer qu'elle est inversement proportionnelle à la température.
23) Déterminer la constante de Curie en fonction de µ_B

1) Energie des électrons

L'énergie d'un moment magnétique électronique M (M_x, M_y, M_z) dans une induction magnétique orientée selon Oz, B (0, 0, B_z) est donnée par la relation:

E = - M.B = - M_zB_z

Dans le cas d'un électron la projection sur Oz du moment de spin ''s'' ne pouvant prendre que 2 valeurs,

d'où

E₁:      M = - µ_Bk    M antiparallèle à B
E₂:      M = - µ_Bk     M parallèle à B
k étant le vecteur unitaire selon Oz

2) Statistique de Maxwell Boltzmann

21) Aimantation du milieu

Si on suppose que la population des deux niveaus d'énergie est donnée par la statistique de Maxwell-Boltzmann, les nombres de sytèmes respectivement dans les états d'énergie E₁ et E₂ sont:

N₁ = exp ( -E₁/kT) = e^-x
N₂ = exp ( -E₂/kT) = e^x   avec   x = µ_BB_z / kT

Comme il n'y a que deux états possibles, en appelant N le nombre d'atomes par unité de volume on a aussi:

N₁+ N₂ = N

on en déduit:

N₁= Ne^-x / [ e^x + e^-x ]          N₂= Ne^x / [ e^x + e^-x ]

Le vecteur aimantation I est alors

I = (N₂- N₁)M = N th x M = Nµ_B th x k

22) Susceptibilité magnétique dans le domaine de validité de la loi de Curie (B/T)<<1

Lorsque (B/T)<<1, soit x << 1, on a th x » x, et

I » Nµ_B x k = (µ_B²NB_z / kT) k = (µ_B²N / kT) B
= (µ_B²N / kT) µ₀H = c H           avec B = µ₀H

Soit la susceptibilité magnétique du milieu

c = Nµ₀µ_B²N / kT

On retrouve la loi de Curie en c = C / T, avec C = Nµ₀µ_B²N / k