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1) Une substance paramagnétique contenant N dipôles identiques, de moment M, par unité de volume est placée dans un champ magnétique uniforme H. Les dipôles ne peuvent s'orienter que parallèlement ou antiparallèlement au champ. L'énergie d'interaction dipolaire est supposée négligeable.

1) Donner l'énergie magnétostatique des dipôles
2) Donner à l'équilibre thermodynamique, pour une température T, la densité des populations des deux niveaux d'énergie magnétique susceptibles d'être occupés par ces dipôles en supposant qu'ils obéissent à la statistique de Maxwell-Boltzmann.
3) En déduire l'aimantation I de la substance paramagnétique et sa variation en fonction de H
4) Dans le domaine de validité de la loi de Curie, donner l'expression de la susceptibilité de la substance considérée.

1) Energie magnétostatique

L'énergie magnétostatique d'un dipole magnétique de moment M dans un champ magnétique H est donnée par la relation:

U = - M.B = - µ₀ M.H

Dans le cas où seules deux orientations, parallèle et antiparallèle au champ, sont possibles et où les interactions entre dipoles sont négligées  ont a donc:

   - dipole parallèle au champ         U₁ = - µ₀ M H
   - dipole anti-parallèle au champ         U₂ = µ₀ M H

avec M = M i    et H = H i,      ( i vecteur unitaire selon la direction du champ H)

2) Equilibre thermodynamique

A l'équillibre thermodynamique, les dipoles satisfaisant à la statistique de Maxwell-Boltzmann, le nombre de dipoles respectivement d'énergies U₁ et U₂ sont:

N₁ = A exp (MHµ₀ / kT)             N₂ = A exp - ( MHµ₀ / kT)

Comme il n'y a que deux états possibles, en appelant N le nombre de dipoles par unité de volume on a aussi:

N₁+ N₂= N

on en déduit:

N₁= Ne^x / [ e^x + e^-x ]          N₂= Ne^-x / [ e^x + e^-x ]

avec x = MHµ₀ / kT

3) Aimantation

Le vecteur aimantation I est alors

I = (N₁- N₂)M = N th x M

4) Susceptibilité magnétique dans le domaine de validité de la loi de Curie

Le domaine de validité de la loi de Curie est celui pour lequel (H/T)<<1.
On a alors x << 1 et thx » x. On a donc

I » Nx M = (µ₀M²N / kT) H = c H
avec c =  (µ₀M²N / kT)  la susceptibilité magnétique du matériau.

On retrouve la loi de Curie en c = C / T, avec C =  µ₀M²N / k

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