1) PROPAGATION DANS LES DIELECTRIQUES

1. 1 Introduction

Cette partie est consacrée à l'étude de la propagation des ondes électromagnétiques en espace libre, dans le vide mais aussi dans un milieu linéaire homogène isotrope. Pour plus d'informations sur certaines grandeurs, telles que la permittivité diélectrique ou la perméabilité magnétique, par exemple, on pourra se reporter aux exercices et rappels de cours dans la partie Electromagnétisme.

1. 2 Equations de Helmholtz

Les équations de Maxwell s'écrivent dans le cas général:

     
div B = 0                div D = r

Si les composantes de champs (E, D, H, B), de courants (J) et de densités de charges (r) ont une dépendance sinusoïdale du temps,

X = X(r) e^iwt

r étant le vecteur position, on a

rot E = - iw B                 rot H = J + iw D
div D = r                     div B = 0

Dans un matériau linéaire, isotrope et homogène de permittivité diélectrique e et perméabilité magnétique µ, on a de plus:

B = µ H          D = e E

(Dans le cas du vide: µ = µ₀ et e = e₀)

En l'absence de charges et de courants, les équations deviennent donc:

rot E = - iwµ H                 rot H = iwe E
e div E = 0                         µ div H = 0

En calculant le rotationnel des deux premières équations on obtient:

- DE + grad (div E ) = - iwµ rot H
- DH + grad (div H ) = iwe rot E

{ rot ( rot A ) = - DA + grad (div A) }

puis

DE + k² E = 0
DH + k² H = 0

avec k. k = k² = w²eµ

Ces équations sont connues sous le nom d'Equations de Helmholtz. En espace libre, les ondes planes,

H = H₀ e^{i(wt - k.r)}              E = E₀ e^{i(wt - k.r)}          avec   k. k = k² = w²eµ

sont solutions des équations de Helmholtz. Le vecteur k est appelé vecteur d'onde. Dans la suite on ne fera pas apparaître de façon explicite la dépendance en e^iwt.

1. 3 Potentiel scalaire et potentiel vecteur

Comme le montre la relation

div B = 0

l'induction magnétique B dérive d'un potentiel vecteur A

B = rot A

A noter que A n'est pas unique, toute fonction de la forme: A' = A + grad f
est aussi un potentiel dont dérive B.

En introduisant, par l'intermédiaire de la relation ci-dessus, le potentiel vecteur dans les équations de Maxwell on obtient:

relation équivalente mathématiquement à

Le potentiel scalaire V n'est pas unique puisqu'on peut lui ajouter, par exemple, une fonction dépendante du temps sans modifier son gradient.

Pour obtenir les équations de propagation des potentiels il suffit de substituer ces définitions dans les équations de Maxwell, soit:

En raison de l'indétermination sur les potentiels scalaire et vectoriel, il est toujours possible de trouver un couple de fonctions A et V vérifiant la relation:

connue sous le nom de jauge de Lorentz.

Les relations s'écrivent donc finalement

ou pour des fonctions ayant une dépendance sinusoïdale du temps

D A + w²eµ A = - µJ
DV + w²eµV = - (r /e)

(Dans le cas du vide: µ = µ₀ et e = e₀)

1. 4 Structure d'une onde plane

En introduisant l'expression précédente, du champ électrique d'une onde plane, dans les équations de Maxwell on obtient:

rot E = rot ( E₀ e^-ik.r ) = grad (e^-ik.r ) x E₀
= ik e^-ik.r x E₀ = ik x E = iwµ H

ou

H = (1/wµ) k x E = u x E / Z

u étant le vecteur unitaire selon k et Z l'impédance du milieu.

e_r et µ_r, respectivement les permittivité diélectrique et perméabilité magnétique relatives du milieu (e = e₀e_r ; µ = µ₀µ_r ), et

est l'impédance du vide.

Cette relation montre que les champs électrique E et magnétique H sont perpendiculaires. De même, en substituant les expressions des champs électrique et magnétique dans les équations de Maxwell, on vérifie que

div E = ik. E = 0          div E = ik. E = 0

ce qui signifie que E et H sont perpendiculaires à k. L'onde est dite TEM (Transverse ElectroMagnétique).

1. 5 Polarisation elliptique d'une onde plane

Nous avons montré que les ondes planes

H = H₀ e^{i(wt - k.r)}              E = E₀ e^{i(wt - k.r)}       avec k. k = k² = w²eµ

sont solutions des équations de Maxwell en espace libre (cf. Equations de Helmoltz ). Soient e₁ et e₂, deux vecteurs unitaires, orthogonaux et perpendiculaires à k, formant un repère orthonormés dans le plan transverse. E étant lui même perpendiculaire à k (cf. Structure d'une onde plane ), il est compris dans ce plan et on peut le décomposer en

E = E₁e₁ + E₂e₂

De même on peut introduire le coefficient de proportionnalité aentre les composantes E₁ et E₂.

E₂ = a E₁

Ce coefficient est dans le cas le plus général complexe, puisqu'il peut exister un déphasage enter les composantes de E. Posons donc

a = a₀ e^if

L'expression du champ électrique devient

E = E₁ (e₁ + a e₂ ) = E₁ (e₁ + a₀e^if e₂ )

L'extrémité du vecteur E décrit alors une ellipse. On dit que la polarisation est elliptique, directe si f < 0, indirecte si f > 0.

Deux cas particuliers peuvent être cités :

        - a réel ( f = 0 ou p ), l'extrémité du vecteur E se déplace sur un axe d'orientation fixe par rapport à e₁ et e₂. La polarisation est dite rectiligne.
        - a = ± i ( f = ± p / 2 ), l'extrémité du vecteur E décrit un cercle. La polarisation est dite circulaire, directe si a = - i, indirecte si a = + i.

Les considérations précédentes sont évidemment aussi valables pour le champ magnétique H de l'onde plane.

1. 6 Cas d'un milieu absorbant

Le cas d'un milieu absorbant s'inscrit dans l'étude générale précédente. La permittivité diélectrique et perméabilité magnétique sont dans ce cas, des grandeurs complexes.

Considérons, par exemple, un milieu homogène, isotrope et linéaire non magnétique (µ = µ₀ ) et de permittivité diélectrique complexe e = e' - ie''. En introduisant l'angle de perte d, défini comme

tan d = e''/ e'

On a dans ce cas:

k² = w²eµ₀ = w²(e' - ie'') µ₀ = w²µ₀e' ( 1 - ie''/e' )
= w²µ₀e' ( 1 - i tan d ) = (w²µ₀e'/cos d )e^-id

En appelant x le vecteur unitaire selon la direction de k

k = ( k' - ik'' ) x

k' = (w²µ₀e '/cos d )^1/2 cos (d / 2)             k'' = (w²µ₀e'/cos d )^1/2 sin (d / 2)

Et le champ électrique de l'onde s'écrit

E = E₀ e^-ik.r = E₀ e^{-i(k' - ik'') x.r} = E₀ e^-ik'xe^-k''x

On obtient donc une onde plane amortie dont l'amplitude décroît en e^-k''x. Cette amplitude est divisée par ''e'' chaque fois que x augmente de 1/ k''. Cette longueur est généralement appelée longueur d'atténation. On peut toujours définir l'impédance du milieu

e_r étant la permittivité diélectrique magnétique relatives du milieu (e = e₀e_r ). L'impédance est, dans le cas d'un milieu absorbant, une grandeur complexe.

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