3) MECANISMES DE POLARISATION (suite)

3. 5 Polarisabilité orientationnelle

Ce problème a été étudié au paragraphe Milieu polaire à polarisabilité induite négligeable. Nous avons montré que la polarisabilité orientationnelle statique est donnée par la relation

a_o = p²/ 3kT

Contrairement aux autres mécanismes de polarisation celui-ci dépend de la température selon une loi de Curie ( variation en T^-1 ). Essayons de voir ce que devient ce phénomène lorsque le champ appliqué est une fonction sinusoïdale du temps.

3. 6 Influence d'un champ variable dans le temps

Le problème posé est celui de l'étude du phénomène de polarisation orientationnelle, encore appelée polarisation dipolaire, sous l'action d'un champ dépendant du temps, au travers de la permittivité complexe e du diélectrique. Le raisonnement qui suit permet de retrouver le modèle de Debye pour la polarisation dipolaire, bien que la démarche suivie par Debye ait été différente. Cette dernière sera présentée ultérieurement.

Lorsque le champ électrique E, appliqué à un milieu diélectrique, est fonction du temps, il apparait un déphasage entre l'induction D et E. Les interactions entre molécules tendent à ''freiner'' la rotation des dipoles qui essayent de s'aligner sur le champ. De ce fait, la polarisation P est généralement en retard sur le champ. La relation D = e E, n'est plus applicable avec un e réel. Pour rendre compte du déphasage on pose alors

e = e' - je''          et    tg d = e''/e'

d est appelé l'angle de perte. Si le champ est une fonction harmonique du temps

E(t) = E₀e^jwt

l'induction électrique devient donc

D(t) = e E₀e^jwt = (e' - je'' ) E₀e^jwt                    (1)

Dans un matériau conducteur de conductivité s et de permittivité réelle e', les équations de Maxwell nous dictent que

(cf. Electromagnétisme > Rappels )

En tenant compte des expressions de l'induction D = e' E et la densité de courant J = s E, cette relation s'écrit

rot H = ( jwe' + s ) E

Dans un diélectrique ne contenant pas de charges de conduction ( J = 0 )et, tel celui que nous étudions, possèdant une permittivité complexe e, cette même équation s'écrit

rot H = jw (e' - je'' ) E = ( jwe' + e''w ) E

De la comparaison des deux relations on déduit que, formellement, la quantité e''w est équivalente à une conductivité électrique

e''w = s

Dans un conducteur, nous savons qu'un courant électrique s'accompagne toujours d'un dégagement de chaleur par effet Joule, qui en régime sinusoïdal est caractérisé par une puissance

P = (1/2)sE²

En poursuivant l'analogie, on dira qu'un diélectrique homogène dont la permittivité complexe est

e = e ' - je''

est, lorsqu'il est soumis à un champ électrique variable d'amplitude E, le siège de pertes diélectriques correspondant à une puissance dissipée

P = (1/2)e''wE²

Remarque: Une manière équivalente d'appréhender le problème précédent est la suivante: Imaginons une structure capacitive C₀. Si nous la remplissons totalement d'un matériau diélectrique de permittivité e, la capacité obtenue est

C = e C₀

et l'admittance correspondante

Y = Z^-1 = jw C = jwe C₀

Dans le cas où la permittivité est complexe il en est de même pour l'admittance

Y = jwe C₀ = jwe' C₀ + we'' C₀

La partie imaginaire positive traduit l'aspect capacitif du composant et la partie réelle, aussi positive, son aspect résistif. Nous savons que dans un circuit électrique la résistance exprime les pertes par effet Joule et il apparait à nouveau que les pertes dans le diélectriques son liées à e''.

Pour décrire la relation entre l'induction et le champ en tenant compte de leur déphasage, on peut introduire la fonction de relaxation f(x), telle que,

Le terme f(x)E(t-x) est la contribution liée au champ qui existait aux instants antérieurs, et le terme e_eE(t) représente la contribution, des autres mécanismes de polarisation, en phase avec le champ (polarisations électronique et ionique). f(x) est une fonction décroissante, qui physiquement, tend nécessairement vers zéro lorsque t tend vers l'infini. En conséquence, lorsque t devient suffisamment grand, de telle sorte que la fonction de relaxation devienne négligeable, on peut étendre l'intégrale jusqu'à l'infini sans modifier notablement le résultat.

Dans ces conditions, pour un champ ayant la forme définie précédemment, on obtient

          (2)

La comparaison des équations (1) et (2) conduit alors à

Il apparait dans cette relation, que la contribution dipolaire à la permittivité complexe, représentée par l'intégrale, est fonction de la fréquence. La contribution e_e des autres mécanismes semble quant à elle indépendante de la fréquence. Ce n'est pas le cas dans l'absolu (cf. Polarisabilité électronique et Polarisabilité ionique ), mais dans la gamme de fréquences dans laquelle existe le phénomène de polarisation dipolaire, les contributions électronique et ionique à la permittivité complexe sont sensiblement constantes. De plus, nous voyons que la grandeur {e(w) - e_e} est la transformée de Fourier de la fonction de relaxation f(x). Il en découle que e'(w) et e''(w) ne sont pas indépendantes. On peut montrer en particulier que

Ces relations sont connues sous le nom de relations de Kramers-Kronig.

3. 7 Théorie de Debye

Supposons que la fonction de relaxation précédente soit de forme exponentielle:

f(t) = A e^-t/t

où t est le temps de relaxation on a donc

soit

e (w ) = e'(w) - je''(w) = e_e + At / (1+ jwt )

Notons e_s la permittivité statique (w = 0),

e_s = e_e + At

et par suite

e (w ) = e'(w) - je ''(w) = e_e + (e _s - e_e ) / (1+ jwt )

ou encore, en séparant parties réelle et imaginaire

e'(w ) = e_e + (e_s - e _e ) / [(1+ (wt)²]           e''(w ) = (e_s - e_e )wt / [(1+ (wt)²]

tan d = e''(w) / e'(w) = (e_s - e_e )wt / [(e_s + e_e(wt)²]

Ci dessous sont tracées les courbes ''normalisées'' de e'(w) -1 et e ''(w) en fonction de wt

             f₁(wt) = [e '(w) - e_e ] / (e _s - e_e ) = [(1+ (wt)²]     
et    f₂(wt) = e ''(w) / (e_s - e _e ) = wt / [(1+ (wt)²]

Il est facile de vérifier que la dérivée de la fonction e''(w) s'annule pour wt = 1. e''(w) passe donc par un maximum pour w_m = 1/t. Les parties réelle et imaginaire de la permittivité complexe sont dans ce cas:

e'(w_m ) = (e _s + e_e ) / 2           e''(w _m ) = (e_s - e_e ) / 2

Le comportement de la polarisation caractérisé par une telle variation de la permittivité diélectrique complexe (décroissance de la partie réelle et simultanément passage par un maximum de la partie imaginaire), est appelé la relaxation dipolaire. Sa pulsation centrale w_m est située, pour les liquides, dans le domaine des ondes hertziennes. Les phénomènes de relaxations ionique et électronique se situant respectivement dans l'infra rouge et l'ultraviolet, on peut donc, comme nous l'avons fait dans la démonstration, considérer que leurs contributions à la permittivité est constante dans la gamme de pulsations dans laquelle nous menons l'étude présente.

Remarque: L'allure des courbes de e'(w) - 1 et e''(w) en fonction de w étant maintenant connue, il est plus facile de visualiser la signification des constantes e_s et e_e. Elles représentent les valeurs prises par la partie réelle de la permittivité respectivement ''loin avant'' et ''loin après'' la relaxation dipolaire (mais ''avant'' la relaxation ionique et électronique), c'est à dire pour des pulsations respectivement très inférieures et très supérieures à la pulsation centrale w_m.

A partir des expressions précédentes de e'(w) et e''(w), on obtient

puis en substituant cette expression dans celle de e''(w),

soit, après simplifications

[e'(w) - e_s ][e'(w) - e_e ] + e''(w)² = 0

où encore

La courbe représentative de la variation de e''(w) en fonction de e'(w) décrit donc un demi cercle de centre [(e_s + e_e ) / 2, 0] et de rayon (e_s - e_e ) / 2. Ce diagramme, obtenu dans le cas
d'un diélectrique dont la fonction de relaxation est de forme exponentielle (f(t) = A e^-t/t ), est appelé diagramme d'Argand ou diagramme Cole-Cole.

Cette théorie traduit qualitativement assez bien les résultats expérimentaux, en particulier en ce qui concerne l'allure des courbes de e' et e'' en fonction de la fréquence. D'un point de vue quantitatif, elle se révèle souvent insuffisante en raison de la simplicité du modèle qui, par exemple, néglige les interactions entre les dipôles. Les systèmes dans lesquels ces intéractions sont négligeables, tel qu'un gaz polaire ou un solvant liquide dans lequel sont diluées des molécules polaires, sont néanmoins bien représentés par le modèle de Debye.

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