4) MATRICES D'ONDE

4. 1 Introduction

Comme dans beaucoup de problèmes, il est souvent intéressant d'utiliser une description matricielle. Cette représentation permet, par exemple dans le cas d'une succession de milieux différents, de connaître les relations entre les grandeurs caractéristiques des ondes incidentes et réfléchies, au moyen d'un produit de matrices. En outre, cette approche pourra être aisément élargie à l'étude de la propagation des ondes guidées.

4. 2 Matrices de transfert

              a) Pour une discontinuité entre deux milieux

Considérons l'espace, constitué de deux milieux diélectriques, de permittivités respectives e₁et e ₂ et de perméabilité µ₀, séparés par le plan z = 0 (milieu 1: z < 0, milieu 2: z > 0). Et supposons que l'interface entre les deux milieux soit atteinte par une onde incidente, sous une incidence nulle (propagation parallèle à l'axe Oz), d'amplitude c₁ dans la région 1 ( z < 0 ),  progressant dans le sens positif des abcisses z, et une onde incidente d'amplitude b₂ dans la région 2 (z > 0), se propageant, quant à elle, dans le sens négatif des z.

Au passage de l'interface, les ondes c₁ et b₂ sont partiellement réfléchies et transmises, et on peut écrire les relations suivantes:

b₁ = R₁c₁ + T₂₁b₂
c₂ = R₂b₂ + T₁₂c₁

R₁ et R₂ sont les coefficients de réflexion, T₁₂ et T₂₁ les coefficients de transmission à la limite entre les deux milieux (cf. Réflexion-transmission).

On en déduit

b₁ = ( T₂₁ - R₁R₂ / T₁₂ )b₂ + ( R₁/T₁₂ )c₂
c₁ = (1 / T₁₂ )c₂ - ( R₂ / T₁₂ )b₂

Sous forme matricielle, ces relations s'écrivent

La matrice [A] est la matrice de transfert. En se souvenant que

R₁ = - R₂                T₁₂ = 2Z₂ / ( Z₁ + Z₂ )
1 + R₁ = T₁₂          1 + R₂ = T₂₁                 

(cf. Réflexion-transmission), on obtient les relations entre les coefficients A_ij de [A]

A₁₁ = 1 / T₁₂ = ( Z₁ + Z₂ ) / 2Z₂                                    A₂₂ = 1 / T₁₂ = A₁₁
  A₁₂ = - R₂ / T₁₂ = R₁ / T₁₂ =  ( Z₂ - Z₁ ) / 2Z₂             A₂₁ = R₁ / T₁₂ = A₁₂

La matrice de transfert se simplifie alors en

Les remarques faites au sujet des coefficients R₁ et T₁₂ se prolongent évidemment pour ce qui concerne les coefficients A_ij (cf. Réflexion-transmission).

              b) Pour une section de matériau sans discontinuité

Considérons un matériau diélectrique homogène caractérisé par une permittivité e et une perméabilité µ₀, dans lequel se propagent deux ondes planes, l'une dans le sens positif des abscisses z (c₁), l'autre dans le sens négatif des z (b₁).

c₁ = C e^{i(wt - kz)}               b₁ = B e^{i(wt + kz)}
k² = w²e µ₀

Leurs amplitudes aux abcisses z = z₁ et z = z₂ sont liées par les relations

c₁ = c₂ e^ik(z2 ^{- z}1⁾ = c₂ e^ikd          b₁ = b₂ e^-ik(z2 ^{- z}1⁾ = b₂ e^-ikd
d = z₂ - z₁

La matrice de transfert traduisant la propagation à travers la section de matériau délimitée par les abscisses z₁ et z₂ est donc

L'angle kd est la longueur électrique de la section [z₁, z₂]. Si le matériau est sans pertes, la constante de propagation k est réelle: la section comprise entre les abscisses z₁ et z₂ introduit simplement un déphasage.
Dans le cas d'un matériau absorbant, k est complexe: la phase et l'amplitude sont modifiées.

              c) Pour une série de sections différentes

Imaginons l'espace divisé en plusieurs sections de matériaux diélectriques, caractérisés par des constantes de propagation k_i, séparés par des plans parallèles z = z_i. La longueur électrique de la i^ème section est k_id_i = k_i ( z_i+1 - z_i ) . Comme précédemment, les ondes planes positive ( c_i ) et négative ( b_i ) atteignent les plans de séparation sous incidence nulle (propagation parallèle à l'axe Oz) Les coefficients de réflexion et transmission sur le plan séparant la section (i - 1) de la section (i ) sont notés respectivement R_i et T_i.

Avec ces hypothèses, on a

La détermination de la relation entre les amplitudes (c_n, b_n ) de la section n, et (c_m, b_m ) de la section m, s'obtient en itérant ( m - n ) fois l'expression, et se réduit donc à au produit des matrices de la forme précédente.

Ce traitement de la propagation dans le cas d'une telle succession de milieux reste valable tant que les éventuels champs évanescents créés à chaque interface n'interagissent pas entre eux. Elle peut être adaptée, avec les mêmes limites de validité, à l'étude de la propagation guidée, par exemple, dans les lignes de transmission ou les guides d'ondes.

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