1) On considère une sphère de contre O et de rayon R, portant à sa surface des charges réparties avec la densité superficielle uniforme s et tournant avec la vitesse angulaire constante w autour d'un de ses diamètres z'Oz. On appellera q l'angle formé avec z'Oz par le rayon OM, où M est un point de la sphère.

     1) Montrer que le mouvement des charges dans le segment sphérique défini par les angles q et q + dq est équivalent au courant d'intensité:

dI = wsR²sinqdq

et en déduire le moment magnétique M du système, qu'on exprimera en fonction de µ₀, w , R et Q, charge totale de la sphère.

        2) Calculer l'induction magnétique créée par le système au centre de la sphère.
Rappel: L'induction magnétique créée par une spire circulaire de rayon a en un point de son axe à la distance x du centre de la spire est axiale et de mesure:

           3) En supposant également que la masse totale M de la sphère est répartie sur sa surface avec la masse spécifique superficielle uniforme d, déterminer le moment cinétique de la sphère en rotation, en fonction de w, R et M.
       4) Quelle est la valeur du rapport gyromagnétique de ce système. Qu'en pensez-vous?
       5) Calculer l'énergie cinétique du système.
Correction

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2) L'espace illimité est séparé en deux régions par le plan y = 0 ; la partie supérieure (y > 0) est vide (perméabilité µ₀) mais il s'y trouve un courant rectiligne indéfini (C), parallèle à l'axe Oz, à la distance d du plan de séparation sur l'axe Oy; la partie inférieure (y < 0) est entièrement remplie par un milieu magnétique parfait de perméabilité relative µ. On se propose de déterminer l'induction B et le champ magnétique H  existant en un point M quelconque de l'espace.

       1) Rappeler les équations locales et les relations auxquelles satisfont les vecteurs B et H, ainsi que les conditions de passage à la surface de séparation y = 0. Rappeler également le champ magnétique créé par un courant rectiligne indéfini (théorème d'Ampère).

      2) Montrer que la solution du problème est la suivante:

                   - en tout point de la matière aimantée (y < 0), l'induction est la même que celle qui serait créée par le circuit (C) parcouru par le courant d'intensité KI, l'espace tout entier étant empli du milieu magnétique parfait de perméabilité relative µ;
                   - en tout point du demi-espace vide (y > 0), l'induction est la même que celle qui serait créée par l'ensemble des deux circuits : (C) parcouru par le courant I et (C'), symétrique de (C) par rapport au plan y = 0 (image magnétique), parcourue par le courant d'intensité (1-K)I, l'espace tout entier étant supposé vide.

Exprimer K en fonction de µ.

        3) Que pensez-vous des cas limites : µ = 1 et µ = ¥?
Correction

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3) Une sphère de centre O et de rayon R est constituée d'un matériau magnétique linéaire, homogène et isotrope, de perméabilité relative µ. La sphère est loin de tout courant et soumise dans le vide à un champ uniforme H₀.

1) Que peut-on dire de l'aimantation M dans la sphère?
2) Calculer le champ H à l'intérieur de la sphère?
3) Calculer l'aimantation dans la sphère.
4) Calculer le champ démagnétisant de la sphère.
5) Définir les distributions de courants équivalentes de la sphère.
Correction