2) L'espace illimité est séparé en deux régions par le plan y = 0 ; la partie supérieure (y > 0) est vide (perméabilité µ₀) mais il s'y trouve un courant rectiligne indéfini (C), parallèle à l'axe Oz, à la distance d du plan de séparation sur l'axe Oy; la partie inférieure (y < 0) est entièrement remplie par un milieu magnétique parfait de perméabilité relative µ. On se propose de déterminer l'induction B et le champ magnétique H  existant en un point M quelconque de l'espace.

       1) Rappeler les équations locales et les relations auxquelles satisfont les vecteurs B et H, ainsi que les conditions de passage à la surface de séparation y = 0. Rappeler également le champ magnétique créé par un courant rectiligne indéfini (théorème d'Ampère).

      2) Montrer que la solution du problème est la suivante:

                   - en tout point de la matière aimantée (y < 0), l'induction est la même que celle qui serait créée par le circuit (C) parcouru par le courant d'intensité KI, l'espace tout entier étant empli du milieu magnétique parfait de perméabilité relative µ;
                   - en tout point du demi-espace vide (y > 0), l'induction est la même que celle qui serait créée par l'ensemble des deux circuits : (C) parcouru par le courant I et (C'), symétrique de (C) par rapport au plan y = 0 (image magnétique), parcourue par le courant d'intensité (1-K)I, l'espace tout entier étant supposé vide.

Exprimer K en fonction de µ.

        3) Que pensez-vous des cas limites : µ = 1 et µ = ¥?

1) Equations locales

Dans la région 1 (y > 0):

div B₁ = 0
rot H₁ = 0 sauf sur (C)
B₁ = µ₀ H₁

Dans la région 2 (y < 0):

div B₂ = 0
rot H₂ = 0 sauf sur (C)
B₂ = µ₀µ H₂

Conditions de passage en y=0:

Conservation de la composante normale de l'induction: B_y1 = B_y2
Conservation de la composante tangentielle du champ: H_x1 = H_x2

Théorème d'Ampère:

pour un fil rectiligne en choisissant une surface d'Ampère cylindrique d'axe parallèle au fil et centrée sur ce dernier, à une distance r du fil on a:

H = I / 2pr

2) Image magnétique:

La solution proposée doit vérifier les conditions générales et de continuité à l'interface.

Région 2 ( y < 0)

H₂= KI / 2pr

pour un point M situé sur l'interface M (x, 0): r = [ x² + d² ]^1/2

H₂= KI / 2p [ x² + d² ]^1/2

d'où

H_x2 = H₂ cos a = H₂ d / r = KId / 2p r²
H_y2 = H₂ sin a = H₂ x / r = KIx / 2p r²

B_x2 = µ₀µH_x2 = KIdµ₀µ / 2p r²
B_y2 = µ₀µH_y2 = KIxµ₀µ / 2p r²

Région 1 ( y > 0)

H₁= I / 2pr
H'₁= (1-K)I / 2pr

pour un point M situé sur l'interface M (x, 0)

H_x1 = (H₁ - H'₁) cos a = KIcos a / 2p r = KId / 2p r²
H_y1 = (H₁ + H'₁) sin a = (2-K)Isin a / 2p r = (2-K)Ix / 2p r²

B_x1 = µ₀H_x1 = µ₀KId / 2p r²
B_y1 = µ₀H_y1 = µ₀ (2-K)Ix / 2p r²

Les conditions de continuité s'écrive donc à l'interface entre les deux milieux:

H_x1 = H_x2 = KId / 2p r²
B_y1 = µ₀ (2-K)Ix / 2p r² = B_y2 = KIxµ₀µ / 2p r²

d'où

K = 2 / (µ + 1)

On en déduit les champs et les inductions magnétiques:

B_x1 = µ₀H_x1        B_y1 = µ₀H_y1                       

B_x2 = µ₀H_x2        B_y2 = µ₀H_y2                      

3) Que pensez-vous des cas limites : µ = 1 et µ = ¥

µ = 1:

K = 1               on est dans le cas de l'espace sans matériau

µ = ¥:

K = 0 mais avec Kµ = 2

H_x1 = 0       H_y1 = Ix /p r²
B_x1 = 0      B_y1 = µ₀Ix /p r²

H_x2 = 0        H_y2 = 0
B_x2 = µ₀Id /p r²    B_y2 = µ₀Ix /p r²

Le champ H est nul dans le matériau et l'induction reste finie on a un effet ''d'écran magnétique''.